Šuplík "neurčitá mocnina"

Co máme dělat, když zkusíme vypočítat limitu a skončíme s jednou z neurčitých mocnin 1, 00, 0?

Standardní postup je změnit tuto mocninu v součin pomocí triku "e na logaritmus". Tento trik je založen na faktu, že pro všechna kladná reálná čísla x platí x = eln(x), a na tom, že logaritmus mění mocniny v součiny. Konkrétně transformujeme takto:

Protože toto je jen algebraická transformace, limita výrazu nalevo je stejná jako limita výrazu na pravé straně. Ta má formu "e na něco". Protože exponenciála je "pěkná funkce", můžeme ji "vytáhnout z limity" a nejprve najít jen limitu exponentu. Tento výraz je součin, což je něco, s čímž se umíme vypořádat. Jaký typ součinu to je? Pokud začneme s neurčitou mocnionou, dostaneme vždy neurčitý součin:

Můžeme tedy aplikovat standardní postup (změnit součin v podíl, přejít k funkcím, použít l'Hospitala, viz šuplík "neurčitý součin"). Poté, co najdeme limitu exponentu, musíme si vzpomenout ji dosadit zpět do exponenciály.

Jako příklad si dokážeme pravidlo pro exponenciální limitu

Nejprve se přesvědčíme, že limita dává neurčitou mocninu, pak uděláme ten trik "e na ln":

Jak vidíte, vytáhli jsme exponenciálu z limity. Teď zkusíme najít limitu v exponentu, a protože víme, že to povede na neurčitý typ, hned přejdeme na funkce:

Našli jsme limitu, ale teď nesmíme zapomenout tuto odpověď dosadit do exponenciály:

Poznámka: Když máme mocninu a nejsme si jisti, jestli je to neurčitý typ nebo ne, vždycky můžeme použít ten "e na ln" trik a uvidíme. Pokud si například nejsme jisti, že 0 = 0 (viz algebra limit), můžeme udělat

Poznámka: Zvídavý čtenář měl cítit něco podezřelého, když jsme měnili mocniny pomocí triku "e na ln". Proč? Protože ln(0) neexistuje, nula se nedá dosadit do logaritmu. My ovšem víme, že tato nula není opravdu nula, ale reprezentuje posloupnost, která konverguje k nule (srovnej tuto poznámku), což ale moc nepomůže, protože logaritmus nemá v nule limitu!

Tady je tajemství: drobet jsme podváděli, když jsme psali tu mocninu. Obecná mocnina vyžaduje, aby základ byl kladný, takže ve skutečnosti nemáme 00 a 0, ale (0+)0 a (0+); to znamená, že základ je "kladná nula", posloupnost konvergující k nule a s pouze kladnými členy. Proto také v následných výpočtech dostaneme ln(0+) a to už je definované, limita logaritmu pro x jsoucí k nule zprava je mínus nekonečno, přesně jak jsme to napsali.

Proč jsme tedy nepoužili správné výrazy (0+)0 a (0+) v našem seznamu neurčitých mocnin? Protože se nikomu nechce, vypoadá to hnusně, a tak se ani nám nechtělo. Popravdě řečeno, většina učebnic se ani neobtěžuje varovat ohledně těch jednostranných věcí, my jsme vás alespoň varovali. Dobrá zpráva je, že byste stejně neměli dostávat špatné výsledky. Máte totiž vždycky prozkoumat nulu, když ji dosazujete do logaritmu v limitní algebře, a kdyby ta nula v mocnině nebyla kladná, logaritmus by neexistoval a vy byste tak zjistili, že někdě něco smrdí.

V části Řešené příklady - Limita jsou tyto metody použity v tomto příkladě.


Další šuplík: srovnání a oscilace
Zpět na Přehled metod - Limita