Co máme dělat, když zkusíme vypočítat limitu a skončíme s jednou z neurčitých
mocnin
Standardní postup je změnit tuto mocninu v součin pomocí triku "e na
logaritmus". Tento trik je založen na faktu, že pro všechna kladná reálná
čísla x platí
Protože toto je jen algebraická transformace, limita výrazu nalevo je stejná jako limita výrazu na pravé straně. Ta má formu "e na něco". Protože exponenciála je "pěkná funkce", můžeme ji "vytáhnout z limity" a nejprve najít jen limitu exponentu. Tento výraz je součin, což je něco, s čímž se umíme vypořádat. Jaký typ součinu to je? Pokud začneme s neurčitou mocnionou, dostaneme vždy neurčitý součin:
Můžeme tedy aplikovat standardní postup (změnit součin v podíl, přejít k funkcím, použít l'Hospitala, viz šuplík "neurčitý součin"). Poté, co najdeme limitu exponentu, musíme si vzpomenout ji dosadit zpět do exponenciály.
Jako příklad si dokážeme pravidlo pro exponenciální limitu
Nejprve se přesvědčíme, že limita dává neurčitou mocninu, pak uděláme ten trik "e na ln":
Jak vidíte, vytáhli jsme exponenciálu z limity. Teď zkusíme najít limitu v exponentu, a protože víme, že to povede na neurčitý typ, hned přejdeme na funkce:
Našli jsme limitu, ale teď nesmíme zapomenout tuto odpověď dosadit do exponenciály:
Poznámka: Když máme mocninu a nejsme si jisti, jestli je to neurčitý
typ nebo ne, vždycky můžeme použít ten "e na ln" trik a uvidíme. Pokud si
například nejsme jisti, že
Poznámka: Zvídavý čtenář měl cítit něco podezřelého, když jsme měnili
mocniny pomocí triku "e na ln". Proč? Protože
Tady je tajemství: drobet jsme podváděli, když jsme psali tu mocninu. Obecná
mocnina vyžaduje, aby základ byl kladný, takže ve skutečnosti nemáme
Proč jsme tedy nepoužili správné výrazy
V části Řešené příklady - Limita jsou tyto metody použity v tomto příkladě.
Další šuplík: srovnání a oscilace
Zpět na Přehled metod - Limita