Topologické pojmy

V této sekci se podíváme blíže na rozličné vlastnosti reálných čísel. Většina z nich má něco do činění s tím, co se děje blízko či daleko od určitého bodu, a věci tohoto typu se v matematice studují pod názvem topologie. Pak se podíváme na množiny a uspořádání.

Jedna z nejdůležitějších vlastností reálné osy je to, že "nemá díry" (viz Reálná čísla v sekci Extra - Množiny a zobrazení - Důležité číselné množiny). Začneme s jedním možným vyjádřením tohoto faktu.

Pronikání nekonečně mnoha intervalů je často zrádné, tento princip ukazuje, že alespoň v případě vložených uzavřených intervalů se nemusíme bát. Poznamenejme, že uzavřenost těchto intervalů je zde zásadní, jinak by průnik mohl být prázdný. Například pokud pronikneme intervaly (0,1/k) pro přirozená čísla k, dostaneme prázdnou množinu.

Jak už jsme výše naznačili, tento princip je jen dalším vyjádřením úplnosti reálných čísel. Ve světe racionálních čísel tento princip už neplatí, je snadné vytvořit vnořený soubor uzavřených intervalů racionálních čísel, který má prázdný průnik. Ještě se zde k těmto úvahám dvakrát vrátíme.

Příklad: Uvažujme množinu

Bod a = 3 leží v M a můžeme se také pohnout trochu doprava i doleva, aniž bychom se dostali z M. Nejjednodušší způsob, jak toto vyjádřit matematicky, je říct, že existuje nějaké okolí bodu a = 3. které je podmnožinou M. Například 1-okolí U₁(3) = (3−1,3+1) = (2,4) je určitě částí M. Intuitivně bychom řekli, že bod 3 je uvnitř M, v matematice pro toto používáme trochu jinou terminologii, viz níže.

Bod a = 6 je také prvkem M, a protože druhá odmocnina z 30 je asi 5.48, můžeme se pohnout kousek doleva, ale už ne o jeden jako předtím, musíme vybírat epsilon opatrněji, například ε = 0.5 bude fungovat, protože okolí U_0.5(6) je vlastně interval (5.5,6.5), který je podmnožinou M. Proto také pro 6 máme okolí, které je částí M.

Teď uvažujme bod a = 4. Je to pořád prvek M, když se ale pokusíme pohnout doprava, tak vyskočíme z dané množiny. Tento bod tedy nemá žádné okolí, které by bylo podmnožinou M, ať už zkusíme jakkoliv malé epsilon, takže tento bod není uvnitř. Totéž platí o bodu a = 1 (je součástí prvního výrazu pro M, neboť 1 = 1/1), protože teď už se vůbec nemůžeme pohnout. Tyto body 4 a 1 nejsou uvnitř M, intuitivně jsou na hranici této množiny.

Zkusme se podívat na jinou otázku. Když vezmeme nějaký bod a, jak blízko k němu se množina M dokáže dostat? Například body 5 a 13 leží oba mimo M, ale liší se v jedné věci. Množina M se dostane libovolně blízko k 13 (jinak řešeno, můžeme "doskákat k 13" pomocí bodů z M), ale u bodu 5 to neplatí, nejblíže k pětce se s množinou M dostaneme v bodě odmocnina z 30. Podobný rozdíl vidíme u bodů 4 a 1, které jsou oba z M. Zatímco k bodu 4 lze doskákat libovolně blízko pomocí ostatních bodů z M, zatímco bod 1 je od zbytku M vzdálen (nejbližší bod z M je 1/2). Dá se říct, že se množina hromadí v bodech 4 a 13, zatímco body 1 a 5 jsou od (zbytku) množiny izolované.

Jak se taková vlastnost dá vyjádřit pomocí okolí? Chceme, aby definice fungovala pro body z množiny i mimo ni, jinými slovy, když se zeptáme, "jak blízko je množina k danému bodu", tak nechceme, aby se nám do toho ten bod samotný pletl. To se snadno zařídí tím, že použijeme prstencová okolí. Bod je izolovaný, pokud existuje nějaké prstencové okolí, které je disjunktní s množinou M. Rozmyslete si, že to dobře ladí s těmi příklady výše, definice platí pro body 1 a 5 a není splněna pro body 4 a 13.

To, že se množina v nějakém bodě hromadí, pak lze vyjádřit takto: Každé prstencové okolí tohoto bodu (jakkoliv malé) má neprázdný průnik s M. Tohle zase platí pro body 4 a 13 a neplatí pro body 1 a 5. Všimněte si, že je to splněno také pro a = 0, i když tam to není na první pohled jasné, zde je třeba si uvědomit, že zlomky 1/n se mohou stát libovolně malými (a tedy libovolně blízkými k 0), pokud necháme n dostatečně narůst.

Už jsme předtím zmínili hranici této množiny, měli jsme pocit, že 1 a 4 jsou na této hranici (a intuitivně vzato by na ní měla být i 2). Jak vyjádříme matematicky pocit, že bod je na hranici množiny? To už není tak jasné. Jeden možný požadavek by byl, že množina existuje na jedné straně a neexistuje na druhé, ale ačkoliv toto není "špatně", tato definice by nebyla užitečná, protože takto definovaná hranice by dobře neladila s jinými pojmy. Matematici tedy dávají přednost jiné definici, a to takové, podle které by i 0 byla na hranici, protože tam množina v jistém smyslu končí; také izolované body jako 1 by měly být hranice. Nápad vypadá takto: M by se měla dostat libovolně blízko k takovému bodu (tentokráte může pomoci i samotný bod), ale také vnějšek M by se měl dostat libovolně blízko k takovému bodu (a zase si bod může pomoci sám, čímž se zajistí, že a = 13 je hraniční bod, což se zdá rozumné). Matematicky, hraniční body by měly splňovat podmínku, že když vezmeme libovolné okolí takového bodu, pak průnik tohoto okolí s M by neměl být prázdný, ale také by neměl dát celé to okolí, tj. v tomto okolí také musí být nějaký bod, které není z M.

Proč tak dlouhý příklad? Za prvé, doufáme, že jsme tím ukázali, jak se používají okolí. Pokud chceme mít možnost se trochu hýbat, aniž bychom vyskočili z "pěkného" místa, tak řekneme, že "existuje okolí, kde je pěkně". Pokud chceme říct, že nedokážeme bod od něčeho separovat, tak řekneme, že "se pro každé okolí něco stane". Toto jsou dvě nejtypičtější použití okolí a vidí se toho při práci s funkcemi spousta (tedy přinejmenším při teoretické práci). Druhý důvod je, že jsme neformálně uvedli užitečné pojmy a následující definice by měly dávat smysl.

Intuitivně, uzavřená množina je taková, že když začneme skákat pomocí jejích bodů, tak se nikdy nedostaneme někam mimo ni. Abychom si tyto pojmy vyjasnili, vrátíme se k příkladu.

Vnitřní body jsou body všech tří intervalů, které nejsou na jejich koncích, takže vnitřek množiny je

M ^o = (2,4) ∪ (sqrt(30),13) ∪ (13,10e).

Izolované body jsou ty, které jsou typu 1/n, protože každý takový bod má své nejbližší sousedy, 1/(n + 1) nalevo a 1/(n − 1) napravo, jsou od 1/n v určité vzdálenosti a žádný prvek z M už není blíž. Hromadné body jsou všechny body oněch tří intervalů, všechny jejich krajní body (i ty, které nejsou v M, ale coby koncové body intervalů mají libovolně blízko k sobě body ze svých intervalů) a 0.

Když tyto hromadné body přidáme k M, dostaneme uzávěr

Protože se M nerovná svému vnitřku ani svému uzávěru, není tato množina otevřená ani uzavřená. Hranice M je

Všimněte si, že když přidáme ke vnitřku hranici, dostaneme uzávěr. To je obecný fakt, v obecnějších situacích definujeme hranici jako

Všimněte si také, že otevřený interval je otevřená množina, což je vlastně důvod, proč se to tak jmenuje. Uzavřený interval je uzavřená množina, všimněte si také, že vnitřkem intervalu (libovolného druhu) je otevřený interval se stejnými krajními body, zatímco uzávěr libovolného intervalu je uzavřený interval se stejnými krajními body. Poznamenejme, že interval ⟨a,∞) je vlastně uzavřený, přestože je pravý konec formálně otevřený. To je dáno tím, že napravo nedokážeme nikam z intervalu vyskákat. Podobně je celá množina reálných čísel zároveň otevřená i uzavřená.

Dá se ukázat, že vnitřek libovolné množiny je otevřená množina (pokud je neprázdný), zatímco uzávěr libovolné množiny je uzavřený. Otevřené a uzavřené množiny hrají důležitou roli při práci s funkcemi.

Teď se ještě krátce vrátíme k pojmu hromadného bodu. V definici požadujeme, aby každé prstencové okolí obsahovalo nějaký bod z M, ale jakmile toto máme, tak se dá ukázat, že ve skutečnosti každé okolí hromadného bodu obsahuje dokonce nekonečně mnoho bodů z M. Z toho hned vyplyne, že konečné množiny nemohou mít hromadné body. Což takhle nekonečné množiny? Všimněte si, že množina celých čísel nemá hromadné body, takže ani tady situace není úplně jasná. Dá se nicméně ukázat, že konečnost množiny nebo to, že "uteče", jsou jediné možnosti, jak se vyhnout koncentraci bodů v nějakém místě.

Je zajímavé, že se tato věta dá snadno dokázat pomocí Principu vložených intervalů, a naopak tuto větu můžeme použít k důkazu onoho Principu. Jinými slovy, jde o ekvivalentní vyjádření faktu, že reálná čísla tvoří úplnou množinu. To mimo jiné znamená, že se nemůžeme spoléhat na existenci hromadných bodů ve světe racionálních čísel. Tato věta má i další verze (například tu o konvergentní podposlounosti, viz sekce Základní vlastnosti v části Posloupnosti - Teorie - Limita), rovněž několik důležitých vět závisí na této vlastnosti, například Věta o extrémní hodnotě v sekci Spojitost v části Teorie - Reálné funkce.

Ještě jeden příklad použití topologie.

Definice.
Nechť M je podmnožina reálných čísel. Řekneme, že M je hustá v ℝ, jestliže pro každé reálné číslo a a každé prstencové okolí P bodu a je průnik P a M neprázdný.

Tahle definice je trochu dřevorubecká, dá se to říci mnohem elegantněji takto: Množina je hustá, jestliže je její uzávěr ℝ. Naše definice je trochu popisnější, intuitivně vzato je množina hustá, jestliže dokážeme všechna reálná čísla aproximovat s libovolnou přesností prvky oné množiny.

Racionální čísla jsou hustá v ℝ je tvrzení, které by mělo být jasné. Zajímavější je, že i docela malé části množiny racionálních čísel jsou pořád husté. Uvažujme například množinu

M = {k/2ⁿ; k∈ℤ, n∈ℕ₀}.

Tato množina je o dost menší, omezili jsme se pouze na zlomky, jejichž jmenovatele jsou ve tvaru 2ⁿ, ale stejně je to pořád množina hustá v ℝ. Podobná fakta mohou být docela užitečná v aplikacích, kdy chceme libovolně dobré aproximace, ale chceme na to malé množiny, například když chceme ukládat informace v počítači.

Docela pokročilá poznámka pro zvědavé, než přejdeme na další téma. Otevřené množiny jsme definovali přes vnitřek, což se zase definuje pomocí pojmu okolí. Ukazuje se, že se dá jít i opačným směrem. Pokud se rozhodneme, které množiny jsou otevřené, tak dostaneme stejná okolí; ne totožná coby množiny, ale stejná vzhledem k výsledkům, které pomoci nich můžeme dostat. A dostat toho můžeme dost. Pomocí okolí definujeme limity, a když na tom prostoru máme funkce, používáme okolí k definici derivace. Topologií prostoru míníme popis, které množiny jsou otevřené, či nějaký popis toho, co znamená být v okolí bodu. Obvyklý způsob, kterým se toto dělá, je definovat nějaký pojem vzdálenosti, pak vyjdou okolí tak, jak jsme je tady měli, ale můžeme také mít okolí bez vzdálenosti. Topologické prostory (prostory, kde máme otevřené množiny a okolí) mají limity a spoustu věcí, které tu děláme s funkcemi, je to velmi abstraktní teorie. Nicméně pokud rozumíte hlavním myšlenkám toho, co se tu dělalo, pak máte docela dobrou šanci alespoň zhruba vidět, co se děje obecně. Vysvětluje to také, proč se slovo topologie objevilo v názvu této sekce.

Když máme množinu s uspořádáním, můžeme se zeptat pár dobrých otázek o jejích podmnožinách.

Definice.
Uvažujme podmnožinu reálných čísel M. Nechť a je reálné číslo.
Řekneme, že a je dolní mez množiny M, jestliže a ≤ m pro všechna m z M.
Řekneme, že a je horní mez množiny M, jestliže a ≥ m pro všechna m z M.
Řekneme, že M je zdola omezená, jestliže má nějakou dolní mez.
Řekneme, že M je shora omezená, jestliže má nějakou horní mez.
Řekneme, že M je omezená, jestliže je omezená shora i zdola.

Uvažujme množinu M z příkladu výše. Je omezená shora, například a = 30 je horní mez, ale také libovolné větší číslo je horní mezí a třeba i některá menší (funguje libovolné číslo, které je alespoň 10e). Tato množina je také omezená zdola, protože například a = 0 je určitě menší či rovno všem prvkům M, tudíž je to dolní mez (fungovalo by i libovolné záporné číslo). Tato množina je tedy omezená.

Na druhou stranu, množina přirozených čísel (coby podmnožina reálných) je omezená zdola (například nulou), ale ne shora, tudíž ani omezená. Je totiž jasné, že neexistuje reálné číslo x takové, aby pod ním ležela všechna přirozená čísla. Množina celých čísel není omezená v žádném smyslu.

Když máme množinu, hodí se někdy vědět, kde "začíná" a "končí".

Definice.
Uvažujme podmnožinu reálných čísel M. Nechť a je reálné číslo.
Řekneme, že a je nejmenší prvek M nebo že to je minimum M, značeno a = min(M ), jestliže je to dolní mez a náleží do M.
Řekneme, že a je největší prvek M nebo že to je maximum M, značeno a = max(M ), jestliže je to horní mez a náleží do M.

Jinými slovy, minimum je číslo, které leží v dané množině a všechna další čísla této množiny jsou větší. Například minimum množiny přirozených čísel je 1, ale množina celých čísel minimum nemá. Podobně je 3 minimum množiny ⟨3,7) (vlevo uzavřený interval), ale otevřený interval (3,7) nemá minimum. Podobně je tomu s maximem. Pokud množina není omezená shora, pak není maximum, a i kdyby omezená shora byla, tak se může stát, že maximum není, protože přirozený kandidát nemusí být prvkem M. Maximum a minimum jsou velmi užitečné, pokud tedy existují. Ta existence je problém, proto uvedeme obecnější pojem.

Definice.
Uvažujme podmnožinu reálných čísel M.
Jestliže je M omezená shora, definujeme její supremum, značeno sup(M ), jako nejmenší horní mez. Jestliže M není omezená shora, definujeme sup(M ) = ∞.
Jestliže je M omezená zdola, definujeme její infimum, značeno inf(M ), jako největší dolní mez. Jestliže M není omezená zdola, definujeme inf(M ) = −∞.

Supremum a infimum jsou ty pravé pojmy k určení, kde množina začíná a končí. Dá se ukázat, že pokud má množina maximum, pak je toto maximum také supremem této množiny, podobně to funguje pro minimum a infimum. Pokud množina nemá maximum, pak buď není omezená shora, v kterémžto případě se nějak táhne do nekonečna a sup = ∞ jasně vyjadřuje, že pravý konec množiny je v nekonečnu, nebo množina je omezená shora, v kterémžto případě supremum je bod, který by byl maximem množiny, kdyby byl prvkem M. Například supremum množiny přirozených čísel je nekonečno, supremum otevřeného intervalu (3,7) je 7, což je také supremum (3,7⟩. Podobně funguje infimum.

Existuje způsob, jak si tyto pojmy představit. Nejprve se podíváme na infimum. Jestliže množina není zdola omezená, tak se nějakým způsobem táhne až doleva a −∞ se zdá jako správná odpověď na otázku, "kde tato množina končí". Pokud je množina omezená zdola, pak má nějakou dolní mez (reálné číslo). Můžeme si představit reálná čísla jako nekonečnou nit, na které jsou body množiny navlečeny jako korálky. Dolní mez je kousek papíru s dírou také navlečený na niti, a to doleva od všech korálků. Kdykoliv máme jednu dolní mez, máme jich hodně, neboli můžeme s tím papírem trochu hýbat. Pokud ale jsou v množině M nějaké body, pak tím kouskem papíru nemůžeme zajet libovolně daleko doprava, nějakou dobu to půjde, ale pak se papír zastaví. Místo, kde tento papír najede na množinu, je přesně infimum. Podobně to funguje pro supremum, teď dáme ten kousek papíru napravo od množiny a posuneme jej doleva, co to jde. Teď už by mělo být jasné, že když uvažujeme množinu M z onoho příkladu, pak nemáme minimum, max(M ) = 10e = sup(M ) a inf(M ) = 0.

Hlavní výhoda suprema a infima je tato.

Věta.
Každá podmnožina reálných čísel má supremum a infimum a tyto jsou jednoznačně určeny.

Poznamenejme, že existenci suprema a infima lze odvodit z Principu vložených intervalů, naopak tento Princip vyplývá z existence suprema a infima. To je tedy další inkarnace faktu, že reálná čísla jsou úplná. Jinými slovy, ve světě racionálních čísel nemusíme mít supremum a infimum.

Supremum a infimum jsou v jistém smyslu limitní pojmy, což je pěkně vidět z alternativní definice. Ta je sice méně elegantní, ale zato popisnější. Uvažujme množinu M a číslo a. Toto číslo je supremum M, jestliže
a) každý prvek x z M splňuje x ≤ a;
b) pro libovolné okolí U bodu a je průnik U s M neprázdný.

Analogicky se definuje infimum. Tato definice má výhodu v tom, že vlastně platí i pro případ nekonečného suprema/infima u neomezených množin. Když si připomeneme definice nerovnosti a okolí pro nekonečno (viz předchozí sekce), můžeme tu novou definici suprema aplikovat na a nekonečné a vidíme, že to funguje stejně jako původní definice. Za prvé, každé reálné číslo je menší než nekonečno, tudíž nekonečno vždy splňuje podmínku a). Pokud je také splněna podmínka b), pak není dotyčná množina shora omezená a podle první definice je nekonečno jejím supremem. Kdyby naopak podmínka b) pro nekonečno neplatila, pak je množina shora omezená a nějaké reálné číslo je jejím supremem.

Zpět na Teorie - Reálná čísla