Příklad: Najděte (pokud existuje) limitu

Řešení: Máme obecnou mocninu, měli bychom tedy začít jejím přepisem na kanonický tvar "e na ln".

Tato funkce existuje na (0,∞), což je pravé prstencové okolí limitního bodu x = 0. Začneme proto dosazením tohoto bodu do výrazu.

Tohle je neurčitá mocnina, standardní postup je změnit ji na kanonický tvar (viz výše), vytáhnout exponenciálu ven a co zůstane je limita typu 0⋅∞. To je neurčitý součin.

Standardní postup je změnit součin na podíl tím, že dáme nějakou část "dolů". Kterou zvolíme je velice důležité, ale zde nemáme jasného kandidáta. Obě funkce se výrazně zkomplikují, když je "dáme dolů", protože se pak složí s mocninou na −1. Protože pak budeme používat l'Hospitalovo pravidlo, musíme myslet na derivování a derivovat jak sin⁻¹, tak ln⁻¹ vyžaduje řetízkové pravidlo; funkce uvnitř (sinus, logaritmus) tedy přežije. Vidíme tedy, že ať už "dáme dolů" cokoliv, tak se do dál ještě zkomplikuje.

Zkusíme tedy najít pomoc u faktoru, který je obvykle druhořadý. Když dáme jednu část "dolů", ta druhá zůstane nahoře výsledného zlomku a bude zderivována během l'Hospitalení. Je zde nějaký rozdíl? Derivace sinu je kosinus, což není nějaké zlepšení. Na druhou stranu, logaritmus derivací zmizí, což naznačuje, že jj asi budeme chtít nechat nahoře.

Jak jsme doufali, situace se zlepšila. Mimochodem, všimněte si, jak skáčeme mezi zápisem 1/x (když chceme dosazovat) a x⁻¹ (když chceme derivovat); takovéto malé triky mohou hodně pomoci. Teď máme neurčitý podíl, který vypadá docela pěkně, takže zkusíme další l'Hospitalovo pravidlo. Všimněte si, že kosinus nedělá problémy, takže je dobrý nápad jej odsunout, než se dáme do toho l'Hospitalování.

Teď si ale musíme vzpomenout, že nám byla vlastně dána jiná funkce, takže se musíme vrátit k exponenciále.

Poznámky: Vezmeme to od konce.
1. Nebylo až tak nutné oddělat kosinus před l'Hospitalem.

Takhle to tedy také bylo pěkné, moc práce jsme si neušetřili.

2. Co kdybychom se při přeměně součinu v podíl rozhodli udělat to naopak?

Jak jsme čekali, situace se nijak nezlepšila.

3. Hned na začátku můžeme udělat malý trik, který zjednoduší všechny následující výpočty.

Změna v podíl a l'Hospital se pak dělají takto:

Nakonec jsme dostali stený výraz jako předtím, ale došli jsme k němu snáze.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Limita