Šuplík "neurčitá mocnina"

Co uděláme, když se snažíme vyhodnotit limitu a skončíme s jednou z neurčitých mocnin 1^∞, 0⁰ nebo ∞⁰?

Standardní postup je změnit tuto mocninu v součin pomocí triku "e na logaritmus". Tento trik je založen na tom, že pro všechna kladná reální čísla x máme x = exp(ln(x)), a na tom, že logaritmus mění mocniny na součiny. Jmenovitě, mocninu měníme v součin takto:

A^B = e^ln(AB ) = e^B⋅ln(A ).

Protože jde jen o algebraickou transformaci, limita výrazu nalevo je stejná jako limita výrazu napravo. Ten má tvar "e na něco". Protože exponenciála je "pěkná funkce", můžeme ji "vytáhnout z limity" a najít nejprve jen limitu exponentu. Tento výraz je součin, ale jakého typu? Pokud začneme neurčitou mocninou, vždy dostaneme neurčitý součin:

U posledního vzorce jsme trochu podváděli, viz poznámka níže.

V každém případě jsme přeměnili problém nalezení limity neurčité mocniny na problém nalezení limity neurčitého součinu. Na ten je možné aplikovat standardní postup (změnit součin v podíl, pak nejspíše použít l'Hospitala, viz šuplík "neurčitý součin"). Po nalezení limity exponentu si musíme vzpomenout ji dosadit zpět do exponenciály.

Příklad:

Teď potřebujeme najít limitu součinu x⋅ln(x) v 0 zprava. Jaká to náhoda, zrovna tento příklad jsme měli v šuplíku "neurčitý součin" a zjistili jsme, že jde k nule. Můžeme tedy dosadit zpět do exponenciály.

Poznamenejme, že tuto transformaci je vlastně možné použít kdykoliv. Například pokud si nepamatujeme (nebo nevěříme), že v algebře limit (1/2)^∞ = 0, můžeme udělat

(1/2)^∞ = e^∞ln(1/2) = e^−∞ = 0.

(Použili jsme fakt, že ln(1/2) < 0.)

Poznámka: Pozorný čtenář by měl zbystřit, když jsme měnili mocninu 0⁰ pomocí triku "e na ln". Proč? Protože ln(0) neexistuje, nemůžeme dosadit nulu do logaritmu. Co se tam tedy děje? Jen jsme při tom převodu trochu mlžili. Obecná mocnina vyžaduje, aby byl základ kladný, takže ve skutečnosti nemáme 0⁰, ale (0⁺)⁰. Proto také v následných výpočtech dostaneme ln(0⁺) a všechno funguje přesně jak jsme výše psali.

Proč jsme tedy v seznamu neurčitých mocnin neuvedli správný tvar (0⁺)⁰? Protože na to všichni kašlou a navíc to vypadá hnusně, tak jsme se na to taky vykašlali. Popravdě řečeno, ve většině učebnic se ani nenamáhají na tehle jednostranný problém upozornit, my jsme vás alespoň varovali. Dobrá zpráva je, že byste stejně neměli dostávat nesprávné výsledky. Správně bychom totiž měli vždycky zkontrolovat, jakou 0 dosazujeme do logaritmu v algebře limit, takže kdyby ta nula v mocnině nebyla kladná, stejně bychom na ten problém narazili u logaritmu a zjistili, že něco nehraje.

V části Řešené příklady - Limita jsou tyto metody použity v tomto příkladě a tomto příkladě.

Další šuplík: srovnání a oscilace
Zpět na Přehled metod - Limita