Příklad: Najděte (pokud existuje) limitu v x = 1 funkce
Řešení: Zde máme oboustrannou limitu, ale funkce není definovaná jedním výrazem na nějakém okolí limitního bodu. Je ale dána určitým vzorcem na každé straně, takže přejdeme na jednostranné limity.
Limita v 1 zprava: Na pravém prstencovém okolí bodu 1 je funkce dána prvním vzorcem, tím s odmocninou, takže začneme dosazením 1 do tohoto vzorce a dostaneme "nulu nad nulou", tedy neurčitý podíl. V tom šuplíku máme dva možné přístupy k tomuto konkrétnímu výrazu. Jeden je l'Hospitalovo pravidlo.
Jak se dalo čekat, derivování nás nezbavilo odmocniny, ale naštěstí to vyčistilo zbytek, takže jsme odpověď dostali. Druhý přístup je obvykle lepší (ale ne zde), a to zbavit se odmocniny pomocí algebraického triku ze šuplíku "rozdíl odmocnin".
Každopádně teď máme
Limita v 1 zleva: Na levém prstencovém okolí bodu 1 je funkce dána tím druhým vzorcem s tangensem, takže začneme dosazením 1 do tohoto vzorce.
To je neurčitý součin a standardní postup je změnit jej v podíl a pak aplikovat l'Hospitalovo pravidlo. Zkušený limitič už ale vidí, že to nebude moc pěkné.
Je lepší způsob? Určitě, a to izolovat zdroj problémů (části dávající nekonečno) a udělat "pěknou" část zvlášť.
Každopádně máme
Protože limita v 1 zprava se liší od limity v 1 zleva, závěr je, že limita f v 1 neexistuje.