Příklad: Najděte (pokud existuje) limitu
Řešení: Je to standardní problém, máme najít limitu výrazu, který existuje na prstencovém okolí limitního bodu. Začneme tedy dosazením tohoto bodu do výrazu.
Sinus nemá v mínus nekonečnu limitu, takže nemůžeme jít dále pomocí algebry limit. Co se dá říct o výrazu ve jmenovateli? Jak se argument sinu blíží k mínus nekonečnu, sinus neustále osciluje mezi −1 a 1. Tato oscilace je násobena číslem jdoucím k nule, takže podle pravidla "omezená krát nula je nula" tvrdíme, že jmenovatel jde k nule. Pro úplnost to dokážeme.
Je to typický příklad ze šuplíku srovnání a oscilace, použijeme srovnávací test. Protože máme vlastní limitu, potřebujeme Větu o sevření, a protože ta limita je nula, je asi lepší verze s absolutní hodnotou.
Máme tedy situaci
Jaký typ nuly máme ve jmenovateli? Jak se x blíží k 0 zleva,
dosazujeme čísla, která jsou záporná a velmi blízká k nule. Ve jmenovateli
pak násobíme x (záporné číslo) sinem
Toto ukazuje, že nula není jednostranná a celý daný zlomek osciluje mezi kladnými a zápornými čísly, které se velikostí zvětšují pro x jdoucí k 0-. Zhruba řečeno, daný výraz osciluje mezi tendencemi jít do nekonečna a mínus nekonečna.
Jakkoliv to podáme, závěr je že daná limita neexistuje.
Poznámka: Co kdyby se po nás chtělo tento závěr dokázat? Asi nejsnažší
je použít Heineho větu. Že limita
neexistuje dokážeme, když se nám povede najít dvě posloupnosti
Nejprve uvažujeme
Na druhou stranu, uvažujme
Toto dokazuje, že f nemůže mít limitu v 0 zleva.