Šuplík "integrály s odmocninami"

Myslí se tím integrál z nějaké "rozumné funkce", do které jsou místo proměnné dosazeny odmocniny z určitého výrazu, v typickém případě z x. Může to vypadat například takto:

Metoda je jednoduchá. Použije se substituce , kde k je zvoleno tak, aby ve vzniklém integrálu zcela vymizely odmocniny; takových čísel je spousta, ale pokud chceme nejmenší možné (což je nejjednodušší pro další výpočet), zvolíme nejmenší společný násobek všech odmocnin, které se v integrálu vyskytují. V našem příkladě by to byla šestka (jako nejmenší společný násobek 2 a 3), takže bychom dostali:

Všimněte si, že jsme pro ulehčení výpočtu dx nejprve ze substituční rovnice spočítali x. Vznikla tak vlastně inverzní substituce. To je přesně doporučený způsob, jak se na tuto situaci dívat, protože jej pak lze snadno zobecnit na zajímavější situace. Než tak ale učiníme, tak pro úplnost dokončíme náš příklad. Je to standardní problém, integrál z racionální lomené funkce. Prvním krokem je vydělit čitatel jmenovatelem, ono se ukáže, že to jde beze zbytku, takže příklad je vlastně velice snadný.

Obecnější situace vzniká, když se v odmocnině neobjevuje x, ale nějaký jiný výraz f (x).

Doporučený postup: Používáme pak smíšenou substituci f (x) = y^k, kde k určíme jako výše. Je pak samozřejmě potřeba, aby se derivace f objevila v původním integrálu u dx alespoň v nějaké dosažitelné podobě, aby šlo substituci provést. Ukažme si typický příklad.

Jako obvykle víme, že některé substituce bude vždy možné provést, například pokud je pod odmocninou lineární výraz.

Další příklady tohoto typu je možno najít v části Řešené příklady - Integrace. Typický je tento, příslušný trik se použije i tady a tady.

Další šuplík: integrály s podíly lineár
Zpět na Přehled metod - Metody integrace