Pokud chcete nějaký text o integraci sledovat zároveň ve vedlejším okně, klikněte sem pro Teorii a sem pro Řešené příklady.
Otázka:
Dostali jste k vypočtení neurčitý integrál. Co máte dělat?
Bohuže na to není žádný algoritmus. Namísto toho jsou snad stovky triků, většina z nich zabírá jen na pár speciálních integrálů. Dnes je jen málo opravdu dobrých integrátorů jako bývali staří mistři, mimo jiné díky tomu, že nás nové technologie toho úkolu do značné míry zbavily. Uděláme zde tedy to, co je v dnešních moderních dobách obvyklé: Omezíme se na několik nejdůležitějších triků, které zabírají na relativně velký počet integrálů (budeme jim proto říkat metody), jsou založeny na metodách probraných v Teorii - Metody integrace a bylo by dobré, kdyby je měl čtenář přečteny, než se pustí dále. Představíme také několik užitečných typů integrálů, pro které máme rozumně spolehlivé algoritmy.
Zpět k původní otázce. Máme neurčitý integrál, co máme dělat? Musíme vybrat ten správný postup díky znalosti správných vodítek a zkušenosti. Aby se člověk naučil integrovat, je třeba hodně trénovat a vybudovat si tak mentální "šuplíky" základních typů integrálu. Když se pak potká nový integrál, tak jej zkusíme dát do toho správného "šuplíku". Pokud jsme rozhodli správně, tak metoda z dotyčného šuplíku integrál vyřeší či jej alespoň převede na jednodušší integrál, který pak třeba padne do jiného šuplíku a vyřeší se. Představíme teď ty nejdůležitější šuplíky.
Trochu optimismu závěrem: Spousta integrálů do šuplíků nezapadá a pak se musí použít nějaké špinavé triky. Mnohé jsou dokonce neřešitelné. Pokud jde ale o integrál školní (např. z písemky), pak by měl být řešitelné (pokud zkoušející neudělal chybku v zadání), a tak musí do nějakého šuplíku padnout. Když to nevzdáte, dříve či později jej dostanete.
Šuplíky pro integrování:
Nejjednodušší jsou
tabulkové integrály,
protože si je prostě pamatujete. Při pohledu na nový integrál
se vždy vyplatí krátké zamyšlení, jestli vlastně nemohu rovnou napsat
výsledek. Zvlášť zrádné je to u těch integrálů, které svým typem také
zapadají do nějakého šuplíku. Stává se, že student automaticky nasadí
příslušnou metodu, po třech stranách výpočtu dostane (při troše štěstí)
správný výsledek, po jehož spatření si uvědomí, že to šlo na jednom
řádku.
Mnohé integrály lze také převést na tabulkové nějakou algebraickou úpravou,
vůbec se při výpočtu integrálů často využívá linearita. Poznamenejme, že
algebraické úpravy jsou extrémně užitečné i u integrálů z jiných šuplíků,
některé užitečnější si teď ukážeme.
Nejoblíbenější metoda je substituce. Když se dobře povede, převádí hnusné integrály na pěkné a někdy přímo na tabulkové. Spousta substitucí se dá dělat zpaměti, například lineární substituce funguje vždycky (ale pozor na znaménko). Při pohledu na integrál se vyplácí nejprve zapřemýšlet, jestli by nešel neudolat substitucí. Dokonce i když integrál zapadá do nějakého typového šuplíku níže, stejně je dobré se zběžně zamyslet nad substitucí. Jsou kupříkladu racionální lomené funkce, které se dají udělat standardním postupem (viz níže) na dvou stranách, ale také substitucí na jednom řádku.
Existují jistá znamení, která mohou ukázat na substituci, některá tak výrazná, že je zkušený integrátor vidí na první pohled, hovoříme o nich v linku výše. Je to ale jen částečný pohled na substituci, ta je totiž úžasně mnohostranná a často pomůže překvapivým (a křivolakým) způsobem, zde se integrování podobá umění a hodně záleží na inspiraci. Nebojte se, nejspíše se po vás taková vysoká magie nebude chtít a to, co zde v Math Tutoru probereme, by mělo stačit.
Per partes je metoda, která je trochu na pomezí. I ona dokáže překvapit svou užitečností, takže to lze spolu se substitucí považovat za obecnější postup, na druhou stranu se to neděje často, většinou se používá na přesně specifikované typy integrálů, čímž se podobá šuplíkům z dalšího odstavce.
Pro některé typy integrálů máme speciální šuplíky:
•
integrály z racionálních (lomených) funkcí
neboli podílu polynomů, než tam zajdete je dobré se naučit rozklad na
parciální zlomky
•
integrály s odmocninami,
•
integrály s podíly lineár,
•
goniometrické integrály neboli
integrály se siny, kosiny atd.; také se zde podíváme na integrály
s hyperbolickými funkcemi,
•
integrály s odmocninami z kvadrátů.
Pokud se integrál nehodí do žádného šuplíku, tak máte problém a nezbývá, než experimentovat. Jednou ze šancí je zkusit nějakou nezvyklou substituci, která integrál převede do tvaru, kdy nás začne něco napadat. Když to nezabere, občas se vyplatí přemýšlet nad nějakým trikovým per partes. Nebo nejde integrál přepsat jinak? Konec konců, jestli jde o školní integrál, nějak jít musí. Dobře připravenému studentovi by se ale tyto problémy měly převážně vyhýbat.
Někdy se stane, že použijete metodu z vhodného šuplíku a nedostanete odpověď, ale nový integrál, pokud možno příjemnější. Pak prostě použijete znovu celý postup, tedy zkusíte nový integrál zařadit do vhodného šuplíku, a to opakujete, dokud není příklad vyřešen (nebo neskončíte ve slepé uličce). Slova "celý postup" mimo jiné zahrnují zamyšlení, zda nelze integrál nějak algebraicky upravit do lepšího tvaru, často totiž použitý postup dává nový integrál ve tvaru, který má daleko k optimálnímu.
Ať už to jde jakkoliv, nezapomeňte, že výsledek neurčitého integrálu musí
obsahovat integrační konstantu (nejčastěji
Důležitá poznámka: Kromě linearity a metod popsaných výše už žádná další pravidla nejsou, jinými slovy, měli byste držet svá tvůrčí nutkání na uzdě. To například znamená, že je zcela mimo vytahovat nějaký výraz s proměnnou ven z integrálu, stejně jako nemáme žádné součinové pravidlo, tak prosím nepřepisujte integrál ze součinu jako součin dvou integrálů. Je pravda, že byste nebyli první, kdo by to udělal, ale pokud to uděláte, tak nebudete poslední, kdo za to dostane nula bodů.
Učení integrování má evidentně dva kroky: Nejprve je třeba se dobře naučit metody a postupy ze šuplíků, pak je třeba se naučit, jak integrály rozdělovat do šuplíků podle toho, jak vypadají. Malou sbírku základních typů nabízíme zde jako příklad.
V každém z šuplíků výše ukazujeme typické příklady. Další příklady integrování najdete v části Řešené příklady - Integrály, kde můžete potkat i další způsoby výpočtu integrálů a rozličné triky. Je to také to správné místo na to, abyste viděli hlavní rozhodovací proces v akci. Může bt dokonce dobrý nápad si ten link otevřít v samostatném okně a dívat se tam, zatímco se učíte metody z šuplíků, abyste mohli porovnávat teorii a opravdické integrály. Pro nácvik rozpoznávání typů nabízíme následující nápad: Jděte do Cvičení, ale příklady nepočítejte. U každého integrálu zkuste uhodnout, jakým způsobem se bude řešit, a pak se podívejte do první nápovědy, jestli jste se trefili. Pokud ne, zamyslete se, co se pokazilo.
Poznámka o oboru platnosti integrálu. Požadavky na tuto množinu jsou následující: Má to být sjednocení nedegenerovaných intervalů, na každém z nich má být výsledek spojitý a na jejich vnitřcích musí derivace výsledku dát funkci z otázky.