Příklad: Vypočítejte integrál
Řešení: K řešení tohoto příkladu se lze dobrat dvěma způsoby. Obvykle se vyplácí přemýšlet nad substitucí jako první možností a zde vyloženě zlobí ta odmocnina. Šlo by ji označit jako y? Obvyklé kritérium úspěchu je uvažovaný výraz zderivovat a podívat se, jestli tu derivaci uvidíme vedle dx. To tady není pravda, ale zkušenější ví, že zrovna u odmocnin se z toho někdy dá vybruslit. Zkusíme to.
Takže to vyšlo. Než se vydáme dál, zkusíme se podívat na další možnost, jak
začít. Tento integrál evidentně zapadá do šuplíku
"integrály s odmocninami"
a tam je doporučeno použít smíšenou substituci k odstranění odmocniny, v
tomto případě
Zpět k příkladu. Dostali jsme integrál z racionální lomené funkce. Musíme začít tím, že vydělíme čitatel jmenovatelem. Ve zbytku pak bude absolutní konstanta dělená lineárním výrazem, což bude lehký integrál: po lineární substituci povede na logaritmus.
Mimochodem, kdybychom potřebovali neurčitý integrál, po zpětné substituci by vyšlo (zkuste si to)
Pokud vás zajímá, kam se z výsledku poděla ta dvojka, kterou dostanete, tak jsme ji schovali do konstanty C. Definiční obor integrálu určují dvě podmínky. Výraz pod odmocninou nesmí být záporný, což vede na uzavřený polointerval. Zároveň nesmí být ve jmenovateli nula, což do tohoto intervalu "udělá díru", přes kterou nelze integrovat. Naštěstí integrujeme přes interval, kterému se tyto problémy vyhnou.
Nabízí se ještě jedna substituce: označit si celý jmenovatel. Obvykle takto ambiciózní substituce neskončí dobře a bývá lepší to hrát skromně na jistotu, ale zkusme to.
V tomto příkladě to tedy vyšlo, možná to bylo i jednodušší než první postup (to byla tedy klika), za to výsledek vypadá hůře. Zkuste se roznásobením přesvědčit, že je to vlastně stejné jako předtím.