Pokud chcete zároveň sledovat ve vedlejším okně nějaký jiný text o testování konvergence, klikněte sem pro Teorii a sem pro Řešené příklady.
Testování konvergence řad (reálných/komplexních/... čísel a funkcí) je velmi důležité a základem jsou testy pro řady nezáporných čísel, což je hlavní téma této sekce. Pak se podíváme na konvergenci řad jejichž znaménka se mění, podíváme se na obecné řady, pak přejdeme na absolutní konvergenci a nakonec shrneme vyšetřování (klasifikaci) konvergence.
Je samozřejmě důležité znát fungování rozličných testů, ale stejně důležité je umění zvolit správný test. Kritérií rozličných účinností a užitečnosti je hodně (viz např. Teorie - Testování konvergence), zde se soustředíme na ty, které jsou obvykle probírány v úvodních kursech.
Testování konvergence řad s nezápornými členy.
Je nám dána řada
Poznamenejme, že pro mnoho řad máme na výběr mezi odmocninovým kritériem a podílovým kritériem, pak je to otázka osobní preference. Pokud jsou oba testy možné, pak příslušné limity musí dát stejnou odpověď.
Testování konvergence alternujících řad.
Uvažujme řadu
Pokud je posloupnost
{bk} nerostoucí a jde k nule, pak řada∑ ak konverguje.
Pro příklad se podívejte na Leibnizovo kritérium v sekci Konvergence obecných řad v části Teorie - Testování konvergence a na tento příklad a tento příklad v části Řešené příklady - Testování konvergence.
Testování konvergence obecných řad.
Uvažujme řadu
Jestliže řada
∑ |ak| konverguje, pak také řada∑ ak konverguje.
Ta řada s absolutními hodnotami pak spadá do kategorie "řada s nezápornými členy", takže na testování její konvergence máme spoustu kritérií. Všimněte si, že to tvrzení výše je implikace. Pokud se řada s absolutními hodnotami ukáže jako divergentní, pak z toho neplyne nic o konvergenci původní řady.
U tohoto pravidla existuje jedna výjimka. Pokud jsme absolutní konvergenci
testovali pomocí odmocninového či podílového kritéria (aplikovaného na
Jestliže
Jestliže
(Viz Poznámka na konci sekce
Konvergence obecných řad
v části Teorie - Testování konvergence.)
Někdy (ale zřídka) se dá divergence řady ukázat tak, že se zjistí, že její členy coby posloupnost nekonvergují k 0 (viz nutná podmínka).
Existují testy, které mohou pomoci také s řadami, jejichž znaménka nejsou alternující či shodná, například Dirichletovo kritérium, ale ty jsou zřídka probírány v základních kursech kalkulu a proto jsou mimo rozsah Math Tutoru. Přesto jsme se rozhodli ukázat několik příkladů, viz tento příklad a tento příklad v části Řešené příklady - Testování konvergence.
Testování absolutní konvergence.
Uvažujme řadu
Definice říká, že konverguje absolutně, jestliže řada
Pro ukázky viz například tento příklad a tento příklad v části Řešené příklady - Testování konvergence.
Vyšetřování (klasifikace) konvergence.
Uvažujme řadu
Otázka: Konverguje daná řada? Pokud ano, jak?
Obecně zodpovězení takové otázky znamená, že musíme otestovat dvě věci:
a) Je tato řada konvergentní?
b) Je tato řada absolutně konvergentní?
Už jsme viděli výše, jak na takové otázky odpovědět.
V závislosti na těchto dvou výsledcích může být závěrečná odpověď následující:
• "diverguje" - jestliže odpověď na a) i b) zní "ne";
poznamenejme, že ve skutečnosti jakmile dostaneme divergenci pro a), tak už
máme automaticky divergenci i pro b), takže v tomto případě nemusíme zkoušet
obě otázky.
• "konverguje neabsolutně" - pokud jsou odpovědi "ano" pro a)
a "ne" pro b).
• "konverguje absolutně" - jestliže odpověď na a) i b) zní
"ano"; poznamenejme, že jakmile dostaneme "ano" pro b), pak už automaticky
dostaneme "ano" také pro a); pokud jsme tedy začali ze správného konce,
nemusíme už dělat část a).
Pro ukázku viz tento příklad, tento příklad, tento příklad a tento příklad v části Řešené příklady - Testování konvergence.