Testování konvergence řad: Přehled metod

Pokud chcete zároveň sledovat ve vedlejším okně nějaký jiný text o testování konvergence, klikněte sem pro Teorii a sem pro Řešené příklady.

Testování konvergence řad (reálných/komplexních/... čísel a funkcí) je velmi důležité a základem jsou testy pro řady nezáporných čísel, což je hlavní téma této sekce. Pak se podíváme na konvergenci řad jejichž znaménka se mění, podíváme se na obecné řady, pak přejdeme na absolutní konvergenci a nakonec shrneme vyšetřování (klasifikaci) konvergence.

Je samozřejmě důležité znát fungování rozličných testů, ale stejně důležité je umění zvolit správný test. Kritérií rozličných účinností a užitečnosti je hodně (viz např. Teorie - Testování konvergence), zde se soustředíme na ty, které jsou obvykle probírány v úvodních kursech.

Testování konvergence řad s nezápornými členy.

Je nám dána řada  ∑ a_k  reálných čísel splňující a_k ≥ 0. Jak rozpoznáme její konvergenci?

• Pokud umíme dokázat, že její členy a_k nejdou coby posloupnost k nule, pak víme, že řada diverguje. U spousty řad je vidět na první pohled, zda jejich členy konvergují k nule nebo ne. pak se tím vyplatí začít, protože nás to nic nestojí. Když ale otázka konvergence členů vypadá komplikovaně, pak není jasné, nakolik se takové zkoumání vyplatí, protože tento test velice často nevyjde a byla by to jen ztráta času. Osobně pak v takových případech raději začnu jinými testy (pokud se nějaké nabízí) a tento si nechávám v záloze.
• Pokud se členy řady sestávají z polynomů (typicky když jsou dány racionální lomenou funkcí), tak většinou můžeme určit její konvergenci pomocí srovnávacích kritérií.
  Obecně, pokud lze řadu zjednodušit ignorováním méně důležitých částí, pak jsou srovnávací kritéria dobrým začátkem.
  Poznámka: Správné používání srovnání většinou vyžaduje dobrou znalost p-řad.
• Pokud členy řady zahrnují mocniny typu c^k nebo obecněji členy typu (c_k)^k, pak často můžeme určit její konvergenci pomocí odmocninového kritéria.
• Pokud členy řady zahrnují faktoriály nebo mocniny typu c^k, pak často můžeme určit její konvergenci pomocí podílového kritéria.
  Poznamenejme, že pokud má řada v sobě faktoriály, pak je obvykle podílové kritérium první volbou testu.
• Pokud se nám při pomyšlení na členy řady jako na funkci líbí představa, že ji integrujeme, pak (pokud je ta funkce nerostoucí) můžeme použít integrální kritérium.
• Rozhodně bychom měli umět p-test. Někdy se dá konvergence určit pomocí geometrické řady nebo pomocí triku s teleskopickou řadou.

Poznamenejme, že pro mnoho řad máme na výběr mezi odmocninovým kritériem a podílovým kritériem, pak je to otázka osobní preference. Pokud jsou oba testy možné, pak příslušné limity musí dát stejnou odpověď.

Uvažujme řadu  ∑ a_k  reálných čísel. Řekneme, že je ta řada alternující, pokud znaménka jdou + − + − + −... Formálně řečeno, existují kladná čísla b_k taková, že a_k = (−1)^kb_k nebo a_k = (−1)^k+1b_k (záleží na tom, za odečítáme každý lichý člen nebo každý sudý člen), v obou případech platí b_k = |a_k|. Taková řada se chová nejlépe z řad, jejichž znaménka se mění, mimo jiné protože pro ně máme jednoduchý test.

Pokud je posloupnost {b_k} nerostoucí a jde k nule, pak řada  ∑ a_k  konverguje.

Pro příklad se podívejte na Leibnizovo kritérium v sekci Konvergence obecných řad v části Teorie - Testování konvergence a na tento příklad a tento příklad v části Řešené příklady - Testování konvergence.

Uvažujme řadu  ∑ a_k  reálných čísel, jejíž znaménka nejsou stejná či alternující, takže ony dva typy testů výše nepomohou. V takovém případě je asi nejužitečnějším přístupem absolutní konvergence, jmenovitě použijeme následující fakt.

Jestliže řada  ∑ |a_k|  konverguje, pak také řada  ∑ a_k  konverguje.

Ta řada s absolutními hodnotami pak spadá do kategorie "řada s nezápornými členy", takže na testování její konvergence máme spoustu kritérií. Všimněte si, že to tvrzení výše je implikace. Pokud se řada s absolutními hodnotami ukáže jako divergentní, pak z toho neplyne nic o konvergenci původní řady.

U tohoto pravidla existuje jedna výjimka. Pokud jsme absolutní konvergenci testovali pomocí odmocninového či podílového kritéria (aplikovaného na |a_k|), pak máme následující fakta.
Jestliže ϱ < 1 (nebo λ < 1), pak řada ∑ a_k konverguje.
Jestliže ϱ > 1 (nebo λ > 1), pak řada ∑ a_k diverguje.
(Viz Poznámka na konci sekce Konvergence obecných řad v části Teorie - Testování konvergence.)

Někdy (ale zřídka) se dá divergence řady ukázat tak, že se zjistí, že její členy coby posloupnost nekonvergují k 0 (viz nutná podmínka).

Existují testy, které mohou pomoci také s řadami, jejichž znaménka nejsou alternující či shodná, například Dirichletovo kritérium, ale ty jsou zřídka probírány v základních kursech kalkulu a proto jsou mimo rozsah Math Tutoru. Přesto jsme se rozhodli ukázat několik příkladů, viz tento příklad a tento příklad v části Řešené příklady - Testování konvergence.

Uvažujme řadu  ∑ a_k  reálných čísel. Chceme vědět, zda konverguje absolutně.

Definice říká, že konverguje absolutně, jestliže řada  ∑ |a_k|  konverguje. Testování absolutní konvergence dané řady je tedy snadné, podíváme se na konvergenci řady  ∑ |a_k| a zde lze použít kritéria pro řady s nezápornými členy probraná výše.

Pro ukázky viz například tento příklad a tento příklad v části Řešené příklady - Testování konvergence.

Uvažujme řadu  ∑ a_k  reálných čísel. Vyšetření její konvergence znamená odpovědět na následující:

Otázka: Konverguje daná řada? Pokud ano, jak?

Obecně zodpovězení takové otázky znamená, že musíme otestovat dvě věci:
a) Je tato řada konvergentní?
b) Je tato řada absolutně konvergentní?
Už jsme viděli výše, jak na takové otázky odpovědět.

V závislosti na těchto dvou výsledcích může být závěrečná odpověď následující:
  • "diverguje" - jestliže odpověď na a) i b) zní "ne"; poznamenejme, že ve skutečnosti jakmile dostaneme divergenci pro a), tak už máme automaticky divergenci i pro b), takže v tomto případě nemusíme zkoušet obě otázky.
  • "konverguje neabsolutně" - pokud jsou odpovědi "ano" pro a) a "ne" pro b).
  • "konverguje absolutně" - jestliže odpověď na a) i b) zní "ano"; poznamenejme, že jakmile dostaneme "ano" pro b), pak už automaticky dostaneme "ano" také pro a); pokud jsme tedy začali ze správného konce, nemusíme už dělat část a).

Pro ukázku viz tento příklad, tento příklad, tento příklad a tento příklad v části Řešené příklady - Testování konvergence.