Řady funkcí

Začneme s definicí řady funkcí a podíváme se na její konvergenci a stejnoměrnou konvergenci. Pak se podíváme na problematiku zachování vlastností.

Myšlenka funkčních řad se objeví přirozeně, když pracujeme s Taylorovými polynomy. Pro rozumné funkce zvyšování stupně T_n zlepšuje kvalitu aproximace, takže se zdá, že kdybychom nějak dokázali vytvořit nekonečný Taylorův polynom, dostali bychom přesně původní funkci. Nekonečný Taylorův polynom je nekonečná suma mocnin - tedy řada. V této a následujících sekcích ukážeme, že myšlenka nekonečných Taylorových polynomů opravdu funguje - ale je potřeba trochu práce k tomu, aby fungovala dobře.

Při vymýšlení pojmu řady pro funkce si přirozeně bereme inspiraci z řad čísel.

Definice.
Pod pojmem řada funkcí rozumíme symbol

kde { f_k}_k ≥ n0 je nějaká posloupnost funkcí.

Je-li dána řada funkcí, definujeme její obor konvergence jako

{x reálné;  ∑ f_k(x)  konverguje}.

Definujeme její obor absolutní konvergence jako

{x reálné;  ∑ f_k(x)  konverguje absolutně}.

Všiměte si, že definice má smysl. Pokud vezmeme nějaké reálné x, které je v definičních oborech všech f_k, a dosadíme jej do všech těchto funkcí, pak  ∑ f_k(x)  je řada reálných čísel a tudíž můžeme vyšetřovat její konvergenci a absolutní konvergenci. Protože víme, že absolutní konvergence implikuje konvergenci, je obor absolutní konvergence evidentně podmnožinou oboru konvergence. Později uvidíme, že v rozumných případech dostaneme absolutní konvergenci uvnitř oboru konvergence, jen na jeho hranici se věci zhorší. To není tak divné, protože hranice oboru konvergence je přesně to místo, kde se něco pokazí s konvergencí, takže by asi bylo příliš náročné chtít tam ještě absolutní konvergenci. Na druhou stranu jakmile se posuneme dovnitř oboru konvergence, tak jsme daleko od míst, kde se věci kazí, a obvykle dostaneme "lepší" konvergenci. Všimněte si, že z praktického pohledu je absolutní konvergence podstatně lepší. Když si zvolíme nějaké reálné x, dosadíme jej do funkční řady a zeptáme se na konvergenci výsledné reálné řady, tak obvykle nedokážeme snadno odpovědět, protože tato reálná řada často mění znaménka. Je tedy přirozené zeptat se na absolutní konvergenci, kdy máme všechny ty báječné testy, zároveň nám absolutní konvergence umožní s řadou manipulovat (viz Teorie - Úvod - Absolutní konvergence).

Protože pro každé x z oboru konvergence dostaneme číslo - součet řady ∑ f_k(x) - dostaneme jistou funkci f definovanou na tomto oboru konvergence. Této funkci budeme říkat součet dané řady. Abychom se na tuto myšlenku podívali trochu hlouběji, bude lepší změnit úhel pohledu. Zatím jsme používali přístup "bod po bodu", protože je elementárnější a hlavně nám dovolil definovat ty dva obory. Teď použijeme abstraktnější pohled, kdy se s funkcemi pracuje jako s objekty, a vytvoříme pojem řady pomocí pojmu posloupnosti funkcí. Takto je to poněkud "čistší" a elegantnější, také nám to umožní uvést stejnoměrnou konvergenci a konvergenci na množině. Jako obvykle konvergence nezávisí na začátku řady, takže prostě budeme psát jen sumu bez specifikovaných limit. Samozřejmě že když budeme chtít pracovat se součtem nějaké řady, tak už budeme potřebovat vědět, kde indexace začíná.

Definice.
Uvažujme řadu funkcí  ∑ f_k. Předpokládejme, že f je funkce definovaná na nějaké množině M a že všechny f_k jsou také definovány na tomto M.

Řekneme, že tato řada konverguje (bodově) k f na M, jestliže posloupnost částečných součtů

konverguje k f na M. Píšeme

Řekneme, že tato řada konverguje k f stejnoměrně na M, jestliže posloupnost {s_N} částečných součtů konverguje k f stejnoměrně na M. Píšeme

Obvykle samozřejmě chceme stejnoměrnou konvergenci a konvergenci na největší možné množině. Protože je konvergence řad založena na konvergenci posloupností (částečných součtů) a pro ně stejnoměrná konvergence implikuje bodovou konvergenci, tak okamžitě dostáváme následující.

Tvrzení.
Jestliže  ∑ f_k ⇉ f na nějaké množině M, pak tam také  ∑ f_k = f.

Správně bychom vlastně měli v tomto Tvrzení psát u sum limity, protože ta konkrétní funkce f rozhodně záleží na tom, kde indexace začíná. Kvůli stručnosti to obvykle vynecháme.

Než ukážeme příklad, zformulujeme řadovou verzi kritéria, které se ukázalo jako užitečné pro posloupnosti.

Tvrzení.
Uvažujme řadu funkcí  ∑ f_k. Tato řada konverguje k nějaké funkci f stejnoměrně na množině M tehdy a jen tehdy, když

Příklad: Vyšetřete řadu  .

Její členy x^k jsou definovány pro všechna reálná čísla, takže tam začneme. Nechť je x nějaké zvolené reálné číslo. Pokud nejste zvyklí si takto hrát s x, klidně tomu číslu říkejte c. Pak uvažujeme řadu  ∑ c^k. To je geometrická řada, takže víme, že konverguje přesně tehdy, když |c| < 1. Jinými slovy, daná řada konverguje jen když vezmeme reálná čísla z intervalu (−1,1). Formálně vyjádřeno, množina (−1,1) je obor konvergence dané řady.

Dále si všimněte, že když je x z (−1,1), tak do této množiny patří i |x|, tudíž konverguje řada  ∑ |x|^k = ∑ |x^k| a v tomto x máme absolutní konvergenci. Proto je (−1,1) také obor absolutní konvergence. Navíc v tomto příkladě i víme, jaký je součet:

Teď bychom rádi zjistili, zda a kde je tato konvergence stejnoměrná. Připomeňme, že pro řadu se součtem f "stejnoměrná konvergence na množině M" znamená následující: Je-li dána tolerance, pak bychom měli být schopni najít částečný součet této řady, který aproximuje f na M v rámci oné tolerance. Abychom dostali inspiraci, podíváme se nejprve na obrázek f a několika částečných součtů dané řady.

Zdá se, že máme potíže okolo 1. Dokonce i bez výpočtů můžeme říct, že rozhodně nemáme stejnoměrnou konvergenci na celé množině (−1,1). Když jde x k 1 zleva, tak funkce  f (x) = 1/(1-x) uteče do nekonečna, takže nemůže být aproximována stejnoměrně našimi částečnými součty - to jsou polynomy a tudíž jsou na omezených množinách omezené. Abychom si to potvrdili, podíváme se na příslušná suprema. Použijeme známý vzorec pro částečný součet geometrické řady.

To, že je supremum nekonečné, se nejsnáze uvidí tak, že se vezme limita výrazu uvnitř v 1 zleva. Protože jsou všechna tato suprema nekonečná, nemohou konvergovat k 0, když pošleme N do nekonečna.

Vidíme, že problém je okolo 1, a také u −1 to nevypadá dobře (už jsme diskutovali v předchozí sekci, že stejnoměrná konvergence bývá s otazníkem na koncích množiny konvergence), takže co se stane, když ty konce odřízneme? Uvažujme nějaké malé kladné číslo d, nechť M = ⟨−1 + d,1 − d⟩. Tvrdíme, že máme stejnoměrnou konvergenci na M. Podívám se na suprema:

Zase jsme použili znalosti geometrické řady a fakt, že |1 − d| < 1.

Tento příklad je velmi poučný. Abychom mohli studovat stejnoměrnou konvergenci, potřebujeme znát f, ale náš globální přístup nám to nijak nepomůže najít. Je tedy nejprve třeba použít bodový přístup: Zvolí se x a vyšetřuje se absolutní konvergence výsledné reálné řady, obvykle pomocí odmocninového kritéria nebo podílového kritéria. Pokud máme štěstí, tak zjistíme, že tato reálná řada konverguje k nějakému číslu A = f (x). Takto obdržíme f a můžeme se začít ptát na stejnoměrnou konvergenci. Přesně tak to ostatně fungovalo pro posloupnosti funkcí.

Teoreticky je situace pro posloupnosti a řady podobná, ale ve skutečnosti zde máme vážný problém. Víme, že rozeznat konvergenci řady je často relativně snadné, takže můžeme čekat, že běžně najdeme obor konvergence. Na druhou stranu, najít součet řady je většinou velice obtížné, takže nalezení f už čekat nemůžeme. Jak pak rozeznáme stejnoměrnou konvergenci? Nejpopulárnější odpověď je následující tvrzení.

Věta (Weierstrassova věta).
Uvažujme řadu funkcí  ∑ f_k  a množinu M. Předpokládejme, že existují reálná čísla a_k taková, že  ∑ a_k  konverguje a

| f_k(x)| ≤ a_k pro všechna k a všechna x z M.

Pak řada  ∑ f_k  konverguje stejnoměrně na M.

Pomocí této věty snadno dokážeme stejnoměrnou konvergenci v zatím posledním příkladě výše. Pro x a ⟨−1 + d,1 − d⟩ máme |x^k| ≤ (1 − d)^k a čísla (1 − d)^k tvoří konvergující geometrickou řadu.

Příklad: Vyšetřete řadu  .

Když zvolíme nějaké x, pak se stane konstantou a můžeme výslednou řadu reálných čísel porovnat s nějakou známou p-řadou, abychom dokázali, že konverguje.

Nemáme ovšem žádnou představu, jaký je součet takové řady pro zvolené x. Víme tedy, že obor konvergence dané řady funkcí je celá reálná osa, ale neznáme její součet f a tudíž je nemožné zkoumat stejnoměrnou konvergenci přes suprema.

Weierstrassova věta ovšem funguje v pohodě, stačí vzít jako M množinu všech reálných čísel a onen odhad výše naznačuje, že a_k = 1/k² to udolá - a taky že ano. Tato čísla tvoří konvergentní řadu a pro každé k a každé reálné číslo x máme 1/(k² + x²) ≤ a_k. Podle Weierstrassovy věty daná řada konverguje stejnoměrně na reálné ose.

Stále nevíme, k jaké funkci konverguje, což může vypadat srandovně, ale už jen vědět, že se někde děje stejnoměrná konvergence, nám umožňuje s řadou provádět spoustu užitečných věcí, jak uvidíme níže.

Příklad: Vyšetřete řadu  .

Když zvolíme nějaké x ≥ 0, pak se stane konstantou a můžeme použít Leibnizovo kritérium, abychom ukázali, že výsledná řada konverguje. Proto je množina M = ⟨0,∞) rozhodně podmnožinou oboru konvergence, ale jako obvykle nemáme ponětí, co je součtem dané řady. Mimochodem, všimněte si, že neříkáme, že M je oborem konvergence, protože ten závisí na tom, kde u dané řady začíná indexace. Pokud by například začínala v n₀ = 3, pak jsou také x > −3 v pohodě, ale −3 už není v definičním oboru f₃ a tudíž je mimo. Vidíme, že některá záporná celá čísla jsou vyřazena, a pokud nevíme, kde indexace začíná, nevíme která to jsou. Proto to raději budeme hrát na jistotu a zůstaneme u nezáporných čísel.

Teď bychom rádi ukázali stejnoměrnou konvergenci na M, ale Weierstrassova věta tu nepomůže. Máme přirozený horní odhad 1/(k + x) ≤ 1/k, ale členy 1/k netvoří konvergentní řadu a tento odhad evidentně není možné vylepšit. Zkusíme tedy Dirichletovo kritérium.

Připomeňme, že alternující řada s členy (−1)^k má omezené částečné součty (částečné součty jsou buď 0 nebo 1 nebo −1, podle toho, kde začíná indexace), takže když vezmeme f_k(x) = (−1)^k jako konstantní funkce na M, stane se z nich řada funkcí, jejíž částečné součty jsou stejnoměrně omezené. Předchozí odhad také ukazuje, že posloupnost funkcí g_k(x) = 1/(k + x) konverguje stejnoměrně k 0 na M. Předpoklady Dirichletova kritéria jsou splněny a docházíme k závěru, že daná řada konverguje stejnoměrně na M.

Tuto část uzavřeme důsledkem Diniho věty z předchozí sekce. Všimněte si, že jestliže jsou všechny funkce dané řady nezáporné, tak její částečné součty tvoří neklesající (a tedy monotonní) posloupnost funkcí.

Věta (Diniho věta).
Uvažujme řadu funkcí  ∑ f_k, která konverguje k nějaké funkci f na nějakém omezeném uzavřeném intervalu M. Jestliže jsou všechny funkce f_k nezáporné na M, pak je tam konvergence řady stejnoměrná.

Konvergenci řad jsme definovali pomocí konvergence posloupností, takže se všechno, co jsme o vlastnostech napsali v předchozí sekci, přenáší i sem. Jak se dá čekat, řady se chovají dobře, když aplikujeme obvyklé algebraické operace.

Věta.
Předpokládejme, že řada funkcí  ∑ f_k  konverguje k funkci f na množině M a že řada funkcí  ∑ g_k  konverguje k g na stejné množině M. Pak platí následující tvrzení:
(i)  Pro libovolné reálné číslo a řada  ∑ (a⋅ f_k)  konverguje k a⋅ f na M.
(ii)  Řada  ∑ ( f_k + g_k)  konverguje k f + g na M.
(iii)  Řada  ∑ ( f_k − g_k)  konverguje k f − g na M.
(iv)  Řada  ∑ ( f_k⋅g_k)  konverguje na M.

Stejně jako u reálných řad není bodový součin v (iv) příliš užitečný a dáváme přednost násobení funkčních řad jiným způsobem (Cauchyho součin). Vrátíme se k tomu v sekci o mocninných řadách.

Vlastnosti, které se zachovávaly u posloupností, se přirozeně také zachovávají zde.

Věta.
Předpokládejme, že řada funkcí  ∑ f_k  konverguje k funkci f na množině M.
(i)  Jestliže jsou všechny f_k liché, pak je také f lichá.
(ii)  Jestliže jsou všechny f_k sudé, pak je také f sudá.
(iii)  Jestliže jsou všechny f_k T-periodické, pak je také f T-periodická.
(iv)  Jestliže jsou všechny f_k neklesající funkce, pak je také f neklesající funkce.
(v)  Jestliže jsou všechny f_k nerostoucí funkce, pak je také f nerostoucí funkce.
(vi)  Jestliže jsou všechny f_k konstantní funkce, pak je také f konstantní funkce.

Z předchozí sekce víme, že nelze očekávat zachování spojitosti a dalších "lepších" vlastností z pouhé konvergence (a je snadné na to udělat příklady podobné těm z předchozí sekce), na to potřebujeme stejnoměrnou konvergenci.

Zase vidíme, že derivace trochu zlobí, dokonce ani stejnoměrná konvergence řady f_k nestačí, abychom dostali něco rozumného, a musíme klást požadavky na derivace. Jak jsme diskutovali v předchozí sekci, tyto vlastnosti jsou vlastně tvrzeními o změně pořadí operací. Ukážeme to v následujícím tvrzení, které také ukazuje, že i bez znalosti součtu řady může být užitečné vědět o stejnoměrné konvergenci, což ospravedlňuje ony kritéria výše. Protože vlastně jen přepisujeme předchozí větu, rozhodli jsme se obětovat přesnost v zájmu jasnosti vyjádření.

Tvrzení.
Předpokládejme, že řada funkcí  ∑ f_k  konverguje stejnoměrně na intervalu M a také že  ∑ f_k′  konverguje stejnoměrně na M, pokud je to třeba. Nechť a a b náleží do M. Pak

Basické systémy funkcí
Zpět na Teorie - Řady funkcí