Příklad: Vyšetřete konvergenci následující mocninné řady:

Řešení: Vidíme, že střed této mocninné řady je a = 0. (Opravdu, xk = (x − 0)k.) Můžeme použít standardní postup a začít s poloměrem konvergence, ale hned narazíme. Koeficienty této řady jsou tak hnusné, že se s nimi prakticky nedá rozumně pracovat (v rozumném čase) v rámci odmocninového či podílového kritéria. Situace se výrazně zjednoduší, když tuto řadu rozdělíme na dvě a najdeme poloměr konvergence pro každou zvlášť. Pak to nějak zkusíme dát dohromady.

1. Vyšetříme absolutní konvergenci řady

Zde není obvyklá volba - odmocninové kritérium - příliš moudrá kvůli tomu faktoriálu, dáváme přednost podílovému kritériu.

Víme, že řada konverguje absolutně, jestliže je lambda menší než 1, což se zde stane, přesně když x = 0. To implikuje, že poloměr konvergence první řady je R1 = 0.

2. Vyšetříme absolutní konvergenci řady

Zde budou fungovat dobře obě naše oblíbená kritéria, takže ať máme nějakou změnu, zkusíme odmocninové kritérium.

Víme, že řada konverguje absolutně, jestliže je ró menší než 1, což se zde děje, přesně když |x| < 3. To implikuje, že poloměr konvergence druhé řady je R2 = 3.

Protože víme, že poloměr konvergence součtu dvou řad je dán jako minimum jednotlivých poloměrů (pokud si tedy nejsou rovny, což je naštěstí náš případ), vychází nám z toho, že poloměr konvergence dané řady je R = 0.

Interval konvergence je tedy ⟨0-0,0+0⟩ = {0} a nejsou žádné krajní body, které bychom měli vyšetřit.

Závěr: Daná řada má střed a = 0 a poloměr konvergence R = 0. Její obor absolutní konvergence a obor konvergence je {0}.

Poznámka o poloměru: Proč se u řad různými poloměry konvergence bere při sčítání ten menší? Předpokládejme, že poloměry konvergence jsou R1 < R2. Začneme ve středu těchto dvou řad, a když se začneme vzdalovat, tak jsme nejprve blíže než R1. Tam jsou obě řady konvergentní a tudíž konverguje i jejich součet. Jeho poloměr konvergence tedy musí být alespoň R1.

Pak se posuneme dále, a když jsme v mezikruží mezi poloměry R1 a R2, tak jedna řada konverguje a druhá diverguje, jejich součet je tedy na této oblasti divergentní. Podle věty o chování poloměru konvergence tedy poloměr konvergence součtu nemůže být větší než R1.

Pokud se posuneme ještě dál, za R2, tak by obě řady byly divergentní a obecně by se mohlo stát, že se v součtu důvody pro divergenci vykrátí a součet by tedy konvergoval. U mocninných řad to ale nepřipadá v úvahu. Víme, že pro ně konvergence v libovolném bodě už nutně znamená konvergenci na celém disku sahajícím až po tento bod, takže za oním mezikružím divergence už se vně nemůže nikde objevit konvergence.

Vidíme zároveň, že kdyby se poloměry rovnaly, tak už by toto mezikruží zaručené divergence neexistovalo, proto by už nic nebránilo tomu, aby se vně poloměru R1 = R1 dvě divergentní mocninné řady sečetly v konvergentní. To se opravdu stát může, pak je poloměr konvergence tohoto součtu větší než minimum poloměrů konvergence jednotlivých sčítanců.


Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Řady funkcí