Podílové kritérium: Přehled metod

Podílové kritérium se užívá následovně:

Algoritmus:
Je dána řada  a_k  s kladnými členy.
Krok 1. Vypočtěte limitu

Krok 2. Předpokládejme, že tato limita existuje.
• Jestliže λ < 1, pak daná řada konverguje.
• Jestliže λ > 1, pak daná řada diverguje.

Tento test je vhodný pro řady, u nichž se snadno pracuje s podílem následujících členů, což hlavně znamená řady s faktoriály; členy typu q^k jsou také v pohodě. I s polynomy se pracuje dobře, ale ty přispívají jedničkou:

Jestliže je p(x) nenulový polynom, pak

Protože je případ λ = 1 neurčitý, polynomiální části při rozhodování o konvergenci podílovým kritériem nepomůžou; abychom získali nějakou odpověď, musí mít daná řada také části jiného typu (jako c^k či ty faktoriály).

Příklad: Rozhodněte o konvergenci řady

Jmenovatel přímo volá po podílovém kritériu. Dostaneme

Protože λ < 1, daná řada konverguje.

Všimněte si, že při výpočtu limity pro lambda jsme ji rozdělili na dvě limity. Jestliže se výraz pro a_k sestává z více částí, pak je obvykle při podílovém ktirériu nejlepší dávat odpovídající části spolu ("svůj k svému"), protože když se porovnají dva členy pocházející ze stejného zdroje, pak máme větší šanci na zjednodušení. Viděli jsme také, proč faktoriály zbožňují podílové kritérium.

Pro další příklady viz tento příklad, tento příklad, tento příklad, tento příklad, tento příklad a tento příklad v části Řešené příklady - Testování konvergence.

Tento test lze také použít k získání informace pro řady s obecnými členy, nejen nezápornými, viz Poznámka na konci sekce Odmocninové a podílové kritérium v části Teorie - Testování konvergence. Jsou tam informace i o obecnějších verzích tohoto kritéria.

Integrální kritérium
Zpět na Přehled metod - Testování konvergence