Základní vlastnosti

V této sekci se podíváme na některé vlastnosti řad, zejména uvidíme, co se změní, když přejdeme od konečných součtů k nekonečným. Začneme operacemi, pak se podíváme na vybrané řady a přerovnání a poté se podíváme na základní a nejdůležitejší fakta o konvergenci. Nakonec probereme řady s nezápornými členy.

Operace s řadami

Když v matematice pracujeme s objekty, tak je rádi spojujeme dohromady, což děláme pomocí rozličných operací. Tuto sekci začneme definováním dvou nejpopulárnějších operací s řadami.

Definice.
Uvažujme dvě řady,  a_k  a  b_k.
Definujeme jejich součet jako řadu

Uvažujme řadu  a_k  a reálné číslo c. Součin čísla a řady definujeme jako

Jak vidíte, definovali jsme tyto operace tak, aby pracovaly "člen po členu", neboli na řadu působíme tak, že působíme na každý její člen. Tento způsob je v matematice populární a obvykle dává dobré výsledky. Platí to i zde. Všimněte si, že abychom byli schopni sečíst dvě řady, musí být indexovány stejným způsobem. V mnoha případech to je jen technický problém, viz změna indexace v předchozí sekci. V definici jsme pomocí oněch dvou operací vytvořili nové řady, teď si ukážeme, že se chovají rozumně.

Věta.
(i) Jestliže řada  a_k  konverguje, pak pro každé reálné číslo c konverguje i řada  (c a_k)  a

(ii) Jestliže řady  a_k  a  b_k  obě konvergují, pak také řada  (a_k + b_k)  konverguje a

Protože se odčítání dá přepsat jako sčítání, tato věta také funguje pro odčítání. Má dva důležité aspekty.

Vidíme, že první tvrzení je vlastně jen zobecnění distributivního zákona z konečných sum na nekonečné. Druhé tvrzení je speciální verze komutativního zákona. Později uvidíme (viz konec sekce Absolutní konvergence), že s komutativním zákonem je u nekonečných součtů problém; to, co tu máme, je asi nejlepší, co jde dostat.

2. Na rozdíl od podobných zákonů pro konečné součty jsou tyto dvě rovnosti "jednosměrné" a podmínečné. Dá se v nich jít jen zprava doleva, to platí obzvláště o části (ii). Pokud víme, že výraz na pravé straně má smysl (ony dvě řady konvergují), pak a jen pak se můžeme přesunout doleva a sečíst je v jednu řadu. Jinými slovy, rovnosti v oné větě fungují jen někdy, například pokud jsou splněny podmínky specifikované ve větě. Když tedy máme řadu a chceme ji rozdělit na dvě, pak jsme v nebezpečné situaci, protože to je přesně něco, co nám věta neumožňuje (snažíme se jít zleva doprava). Když vezmeme řadu a napíšeme ji jako součet dvou, pak ta rovnost není opravdu rovnost, je to "podmínečná" rovnost ve smyslu, že ve chvíli jejího napsání ještě nevíme, jestli je pravdivá. Musíme se podívat na vzniklou pravou stranu, a pokud tam věci dopadnou dobře (ony dvě řady konvergují), pak teprve víme, že je to celé v pořádku a ona rovnost je pravdivá; jinak můžeme dělat něco velmi špatného.

Schválně se podívejte na následující dva příklady:

V obou případech máme na levé straně krásné konvergentní řady (viz předchozí sekce), ale nebyli jsme opatrní a rozdělili tyto dvě řady dosti nemoudře. V prvním případě jsme dostali dvě divergentní řady a výraz napravo je neurčitý, nekonečno mínus nekonečno. V druhém případě je to dokonce horší, protože ony dvě řady napravo divergují nejhorším možným způsobem (oscilace) a dokonce ani nelze říct, jaký typ výrazu napravo máme.

První rovnost (i) je poněkud hezčí, jediný opravdický problém nastane pro nulové c, jinak je také možno jít zleva doprava. Pokud totiž víme, že řada nalevo konverguje a c není nula, pak podle věty je možno ji vynásobit číslem 1/c a zjistíme, že původní řada také nutně konverguje.

Poznámka: Větu lze formulovat obecněji. Jestliže má výraz na pravé straně smysl, pak je dotyčná rovnost pravdivá.

Pro část (i) proto také dostaneme rovnost, jestliže původní řada je nekonečno nebo mínus nekonečno a c není nulové (připomeňme, že nula krát nekonečno je neurčitý výraz, problémy působí i zde).

Pro část (ii) víme, že rovnost je pravdivá, pokud výraz na pravé straně (součet dvou řad) má smysl, což znamená, že tam mohou být dvě reálná čísla, nebo jedno reálné číslo a jedno (mínus) nekonečno, nebo dvě nekonečna nebo dvě mínus nekonečna. Také o sčítání konvergentní řady a "špatně" divergentní řady (oscilující řady, která nedává ani (mínus) nekonečno) se dá říct, že "má smysl", výsledkem je opět divergující řada. Sčítání konvergentní a divergentní řady proto vždy funguje, ať už je ta divergence jakákoliv, výsledná řada diverguje stejným způsobem jako onen divergentní sčítanec.

Fakt.
Jestliže řada  a_k  konverguje a řada  b_k  diverguje, pak řada  (a_k + b_k)  diverguje.

Můžeme totiž vyjádřit  b_k  jako rozdíl  (a_k + b_k)  a  a_k, takže pokud by obě konvergovaly, pak by nutně i  b_k  konvergovala.

Jaké jsou případy, kdy tato rovnost neplatí? Příklad výše ukazuje ty nejtypičtější, kdy pravá strana dává nekonečno mínus nekonečno nebo nějakou kombinaci "špatných divergencí". Pak nevíme nic o tom, co se stane s řadou nalevo, může být konvergentní (například když se dvě nekonečna navzájem vykrátí), "pěkně" divergentní nebo "špatně" divergentní.

Můžeme také narazit s asociativním zákonem. Obecně vzato, když do řady zavedeme nějaké sdružování pomocí závorek, můžeme se dostat do potíží. Připomeňme si například naši oblíbenou alternující řadu 1 − 1 + 1 − 1 + ... Zkusíme tři rozličná sdružování:

    (1 − 1 + 1) + (−1 + 1 − 1) + ... = 1 − 1 + 1 − ...,
    (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0,
    1 − (1 − 1) − (1 − 1) − (1 − 1) − ... = 1 − 0 − 0 − 0 − ... = 1.

Jak vidíte, prostou aplikací asociativního zákona různými způsoby jsme dostali (vycházejíce ze stejné řady) řadu divergentní a dvě řady konvergentní, ale každá jde jinam. Je tedy jasné, že pro nekonečné součty už "asociativní zákon" není zákonem. Příští tvrzení naštěstí říká, že pokud se držíme konvergentních řad, měli bychom být v pohodě. Nenechte se vyděsit poněkud drsnějším značením, vyjádřit asociativní zákon pořádně není snadné.

Věta (asociativní zákon).
Předpokládejme, že řada  a_k  konverguje. Pak pro každou rostoucí posloupnost k₁ < k₂ < k₃ < ... splňující n₀ = k₁ také řada    konverguje a

V dlouhém rozpisu:

Zase to funguje jen ve směru podaném ve větě, tedy zprava doleva v rovnici. Naopak to obecně platit nemusí, klidně se může stát, že ta uzávorkovaná řada nalevo konverguje, ale ta napravo ne (už jsme to viděli výše).

Měli bychom poznamenat, že existuje i další užitečná situace, kdy můžeme použít pro řady asociativní zákon. Pokud mají všechny členy v řadě stejné znaménko (například pokud jsou všechny členy nezáporné), pak je rovnost v této větě vždy pravdivá, a to dokonce v obou směrech (viz níže).

Násobení.
Přirozený přístup je rozšířit násobení, jak se dělá pro součiny konečných součtů. Tam používáme metodu "každý člen z první části krát každý člen z druhé části" a tyto součiny se pak posčítají. U řad toto vede na nekonečně mnoho malých součinů typu a_i⋅b_j, ale zde máme problém: jak je posčítat. Na rozdíl od konečného případu se zde nemůžeme spolehnout na asociativní a komutativní zákon, takže musíme přesně určit, jak sloučit a jak uspořádat tyto jednotlivé součiny. To je velice důležité, protože jinou indexací bychom opravdu mohli změnit konečný výsledek! Naštěstí můžeme najít inspiraci u pokročilejšího tématu, jmenovitě u mocninných řad, a dostaneme se tak k definici, která má smysl.

Definice.
Uvažujme řady  a_k  a  b_k.  Definujeme jejich součin jako řadu

Rozepsáno dlouhým způsobem,

(a_n0⋅b_n0) + (a_n0⋅b_n0+1 + a_n0+1⋅b_n0) + (a_n0⋅b_n0+2 + a_n0+1⋅b_n0+1 + a_n0+2⋅b_n0) + ...

Říká se tomu také Cauchyho součin. Ačkoliv je právě toto přirozený součin, má jednu nepříjemnou vlastnost: Může se stát, že když vynásobíme dvě konvergentní řady, tak dostaneme řadu, která diverguje! Pokud chceme zajistit konvergenci součinu, je třeba požadovat více, například že jedna z těch dvou řad je absolutně konvergentní. Pak se tento součin chová přesně tak, jak by se čekalo od "rozumného" součinu, jmenovitě

Cauchyho součin potom také splňuje asociativní a komutatovní zákon a rovněž distributivní zákon. Všechny tyto zákony jsou "podmínečné": Jestliže má výsledek operace smysl, pak je tato operace platná.

Jedno zajímavé pozorování: Máme řadu se členy a_k a řadu se členy b_k. Jaké jsou členy jejich součinu? Odpověď: Je to konvoluce posloupností {a_k} a {b_k}.

Poznámka: Dá se také uvažovat o jiném přirozeném způsobu násobení dvou řad, jmenovitě násobení "člen po členu". Výsledná řada by byla prostě součtem členů a_kb_k. Takové násobení je opravdu možné a také splňuje obvyklá pravidla pro násobení (komutativitu, asociativitu). Součin po členech dvou konvergentních řad je zase konvergentní řada (zde máme zlepšení v porovnání s Cauchyho součinem); nicméně jeho součet nemá nic společného se součty jednotlivých řad v součinu. Jinými slovy, pokud vynásobíme řadu se součtem řekněme 5 s řadou se součtem 2, pak téměř jistě nedostaneme pomocí součinu po členech řadu se součtem 10. Už toto ukazuje, že pojem součinu po členech není příliš vhodný pro naše aplikace a proto jej budeme víceméně ignorovat (stejně jako většina autorů).

Když máme řadu, rádi bychom někdy sečetli jen některé její členy (jakási "podřada" ve smyslu podobném "podposloupnosti"). Značení se dělá tak, že si vybereme indexy čísel, která nás zajímají.

Definice.
Uvažujme řadu  a_k. Nechť A je podmnožina množiny {n₀, n₀ + 1, n₀ + 2, n₀ + 3,...}, označme její členy jako A = {k₁ < k₂ < k₃ <...}. Pak definujeme součet přes A jako

Takové řadě se také říká vybraná řada.

Když přejdeme k podmnožině členů řady, můžeme tím podstatně změnit její chování. Uvažujme například alternující řadu . Víme, že kvůli oscilaci diverguje nejhorším možným způsobem. Když vezmeme jako A všechna sudá přirozená čísla, dostaneme řadu, která sčítá členy (−1)^k pro sudá k, jinými slovy, dostaneme řadu 1 + 1 + 1 + ... Ta pořád diverguje, ale teď už dostaneme pěkný rozumný součet, jmenovitě nekonečno. V příští sekci uvidíme, že přechodem na vybranou řadu se můžeme dostat od divergentní řady ke konvergentní a také naopak, konvergence řady nezaručuje, že její vybrané řady budou konvergovat.

Samozřejmě existuje případ, kdy tímto způsobem vždy dostaneme konvergentní řadu, jmenovitě když je A konečná množina. Když si totiž z řady vybereme konečný počet členů k sečtení, dostaneme konečný součet, který vždy funguje. Existuje ještě jiný způsob, jak zaručit, že přechod na vybranou řadu bude fungovat, jmenovitě silnější (lepší a přísnější) pojem konvergence. Na to se musíte podívat do sekce Absolutní konvergence.

V zásadě totéž platí pro další trik, který se s řadou dá udělat. Už jsme výše naznačili, že mohou být problémy s komutativním zákonem. Jak se komutativní zákon vyjádří pro řady? Máme nějaká čísla a pořadí, ve kterém jsou sčítána, je určeno jejich indexy, jdeme od menšího k většímu. Pokud tedy chceme zamíchat čísla a sečíst je v jiném pořadí (přerovnat je), uděláme to změnou indexace. Připomeňme, že když máme množinu celých čísel uvažovanou s určitým pořadím a chceme změnit jejich pořadí, říkáme tomu permutace. Matematicky můžeme takovou permutaci vyjádřit jako bijekci P na oné množině.

Předpokládejme například, že máme řadu a indexování jejích členů jde a₁, a₂, a₃, a₄,..., řekněme že a₃ = 13. Když tuto řadu sčítáme, tak abychom viděli třetí číslo, vezmeme k = 3 a vidíme, že toto třetí číslo je a₃ = 13.

Teď si představme, že tuto řadu chceme přerovnat tak, aby se tato konkrétní 13 brala jako pátý člen. Pak uvažujeme permitaci P takovou, že P(5) = 3 (význam: nový pátý je to, co bývalo třetím), a sčítáme členy a_P(i). Funguje to? Když se dostaneme ke třetímu členu této přerovnané řady, měli bychom vzít a_P(3). Protože P je prosté a čísla 3 se dosáhne pomocí P v pětce (P(5) = 3), znamená to, že P(3) je nějaké jiné číslo, takže jako třetí člen v naší přerovnané řadě bereme nějaký jiný (vlastně to také může být 13, ale pak jiná "13" než ta, co byla původně na třetím místě). Co se stane, když se dostaneme k pátému členu přerovnané řady? Měli bychom přičíst člen a_P(5) = a₃. Vidíme, že to funguje, pomocí P jsme opravdu přesunuli člen v řadě na jiné místo. Protože je P prosté, žádný člen není použit v nové řadě dvakrát, a protože je P na, všechny původní členy se použijí v nové řadě. Teď už by měla být definice jasná.

Definice.
Uvažujme řadu  a_k. Jejím přerovnáním rozumíme libovolnou řadu ve tvaru  a_P(k), kde P je nějaká permutace množiny {n₀, n₀ + 1, n₀ + 2, n₀ + 3,...}.

Zase jsme ve veselé situaci, že dokonce i konvergentní řada může být přerovnána v řadu divergentní. Všimněme si, že když je P konstantní s výjimkou konečně mnoha členů (takže děláme jen konečně mnoho změn v dané řadě), pak je určitý index K takový, že se všechny změnu udály před tímto K (jinak řečeno, P(k) = k pro všechna k > K). Pak K-tý částečný součet přerovnané a původní řady souhlasí (mají stejné členy, jen přeházané, což u konečných sum nevadí). Protože členy přerovnané řady, které jdou po K, souhlasí s členy původní řady, tak také N-té částečné součty souhlasí pro všechna N > K. To ukazuje, že taková přerovnání nemění konvergenci a konečný součet řady. Případ, kdy přesouváme jen konečně mnoho členů, se považuje za triviální.

Skutečný problém s komutativním zákonem tedy nastává v situacích, kdy potřebujeme přesunout nekonečně mnoho členů. Zde zase silně pomůže absolutní konvergence.

Už jsme v této sekci viděli, jak důležitá konvergence je. Zde si o ní ukážeme několik základních výsledků.

Věta.
Uvažujme řadu  a_k, nechť n₁ > n₀.
 a_k  konverguje tehdy a jen tehdy pokud   konverguje; pak také

Dá se říci více: Dvě řady, které sdílejí členy a liší se jen tím, kde začínají, se chovají přesně stejně. Jestliže jedna dá nekonečno, tak i ta druhá. Jestliže jedna "špatně" diverguje (s oscilací), tak i ta druhá. Také ta rovnost je pravdivá, "kdykoliv má smysl." Protože konečný součet napravo je vždy reálné číslo, tak má pravá strana smysl pro řady, které jsou konvergentní, a také pro řady se součtem nekonečno či mínus nekonečno.

Tato věta má dva užitečné důsledky. Za prvé vidíme, že když pracujeme s řadou, tak si můžeme s konečnými úseky pohrát stranou, kdykoliv se nám to hodí. Co je důležitější, vidíme, že se chování řady rozhoduje "na jejím konci," její začátek to neovlivňuje. Když pracujeme s řadami, často nás víc než její součet (pokud vůbec nějaký je) zajímá, jestli konverguje. Pak nepotřebujeme vědět, kde indexace začíná, můžeme začít, kde se nám zachce, takže se to stává irelevantním. To silně zjednodušuje situaci a také se to odráží ve značení. Když vyšetřujeme konvergenci řady, tak nepoužíváme plné značení včetně specifikace indexace, prostě jen píšeme  ∑ a_k. Typická otázka tedy zní: "Je řada  ∑ a_k  konvergentní?"

Teď se na konvergenci podíváme blíže.

Věta (nutná podmínka konvergence).
Jestliže řada  ∑ a_k  konverguje, pak nutně posloupnost {a_k}  konverguje k 0.

Jak název napovídá, tato věta je jen implikace, takže jsou i divergentní řady, jejichž individuální členy jdou k 0. Můžeme se na to také podívat v opačném směru. Tato věta říká, že pokud čísla a_k nejdou k nule, pak je odpovídající řada nutně divergentní. To je někdy užitečné jako nástroj k testování konvergence, ale jen zřídka, protože ty opravdu zajímavé řady jsou ty, jejichž členy jdou (coby jednotlivci) k nule. Když z nich pak uděláme řadu, tak může být konvergentní i divergentní. Takové řady jsou vlastně ty opravdu zajímavé, protože u nich je dělící čára mezi konvergencí a divergencí mnohem jemnější.

Všimněte si, že čísla a_k zde hrají dvě rozdílné role, coby jednotlivci (když tvoří posloupnost {a_k}) a jako řada  ∑ a_k , když se je snažíme sečíst. Ono tvrzení výše ukazuje, že tyto dvě role se určitým způsobem ovlivňují. Tento vliv ale není obousměrný, takže když mluvíme o konvergenci a divergenci, je důležité vždy přesně říct, co tím míníme. Jsou čísla a_k, která konvergují jako posloupnost, ale divergují jako řada (viz příští sekce). Odpovědět slovy "to diverguje" tedy může být riskantní.

Připomeňme, že při teoretické práci někdy pomůže fakt, že posloupnost konverguje tehdy a jen tehdy, když je Cauchyovská (viz Základní vlastnosti v části Posloupnosti - Teorie - Limita). Když to aplikujeme na částečné součty řad, dostaneme následující užitečné kritérium.

Věta (Cauchy-Bolzano).
Uvažujme řadu  ∑ a_k. Tato řada konverguje tehdy a jen tehdy, když pro každé ε > 0 existuje přirozené číslo N takové, že pro všechna m > n ≥ N máme

Jeden z důvodů, proč se zkoumání konvergence může zkomplikovat, je to, že se řada může chovat mnoha různými způsoby. S některými řadami se ale pracuje lépe.

Představte si, že daná řada má všechny členy nezáporné. To znamená, že jak přičítáme její členy, postupné součty se mohou pouze zvyšovat, přinejhorším zůstanou stejné. Jinými slovy, částečné součty tvoří neklesající posloupnost. Formálně je to snadné, z podmínky a_N+1 ≥ 0 dostaneme

s_N+1 = s_N + a_N+1 ≥ s_N.

Neklesající posloupnosti buď konvergují nebo jdou do nekonečna (viz Základní vlastnosti v části Posloupnosti - Teorie - Limita), dostaneme tedy následující tvrzení.

Věta.
Uvažujme řadu  ∑ a_k. Jestliže a_k ≥ 0 pro všechna k, pak buď  ∑ a_k  konverguje nebo  ∑ a_k = ∞.

Už jsme se zmínili, že řady s nezápornými členy se chovají mnohem lépe, při povídání o asociativitě výše, teď to zformulujeme přesně a jako bonus přidáme tvrzení o přerovnání.

Věta.
Uvažujme řadu  a_k takovou, že a_k ≥ 0 pro všechna k.
(i) Pro libovolnou rostoucí posloupnost k₁ < k₂ < k₃ < ... splňující n₀ = k₁ platí následující:

(ii) Pro každé přerovnání  a_P(k) platí následující:

a_P(k) = a_k.

Díky předchozí Větě jsou všechny součty v oněch dvou rovnostech výše buď reálná čísla (řada konverguje) nebo nekonečno, a ty rovnosti jsou platné ve všech případech. Takže pokud se v určité rovnosti jedna z řad posčítá do nekonečna, pak to musí platit i o té na druhé straně a naopak; podobně konvergence přechází z jedné strany na druhou. Práce s řadami s nezápornými členy je tudíž velice příjemná, totéž je samozřejmě pravda o řadách s nekladnými členy.

Asi největší výhodou řad s nezápornými členy je, že se jejich konvergence zkoumá relativně snadno. Ve skutečnosti se dá většina testů konvergence aplikovat právě jen na takovéto řady. Je jasné, že když jsou všechna čísla v řadě záporná (či nulová), tak vždycky můžeme to mínus vytknout z řady a dostaneme řadu s nezápornými členy, takže všechno, co jsme tu říkali, platí také (se zjevnými modifikacemi) pro řady s nekladnými členy. Jediný problémový případ je tedy ten, kdy mají členy v řadě rozličná znaménka, což není žádný překvapovák, už jsme naznačili, že oscilační divergence je ta nejhorší.

Důležité příklady
Zpět na Teorie - Úvod do řad