Témata bakalářských a/nebo magisterských prací
Tropická algebra (také min-plus algebra) je polookruh s idempotentním sčítáním. Problém řešitelnosti polynomiálních rovnic nad touto algebrou je NP-úplný a klasické okruhově-teoretické přístupy selhávají. Tropická algebra je tak jednou z možností, jak v kryptografii využít nějakou méně prozkoumanou algebraickou strukturu s obtížně řešitelnými rovnicemi. Zájemce si může (pro zajímavost) vyzkoušet, jak se budou známé protokoly chovat při nahrazení klasického okruhu nějakou tropickou strukturou.
Student by se měl seznámit se základními definicemi tropické algebry. Článek [1] obsahuje dva typy protokolů pro výměnu veřejného klíče - první je varianta Stickelova protokolu (A) a druhý pracuje s automorfismy jistého polotělesa (B). Protokol (A) a analýza útoku na něj už jsou do určité míry zpracovány v [4] a [6]. Dále byly navrženy další protokoly v [2]. Útoky na ně byly publikovány v [3] a [7].
U protokolu (B) se student může pokusit zkonstruovat jiné automorfismy než ty navrhované v [1], případně navrhnout útok na tento protokol. Velmi zajimavým výsledkem by pak byla odpověď na otázku o struktuře všech automorfismů (Problém 1 v [1]).
Seznam odborné literatury
[1] D. Grigoriev, V. Shpilrain: Tropical Cryptography. Communications in Algebra, Vol. 42, No. 6 (2014), 2624-2632 (https://arxiv.org/abs/1301.1195)
[2] D. Grigoriev, V. Shpilrain: Tropical Cryptography II: extensions by homomorphisms. Communications in Algebra, Vol. 47, No. 10 (2019), 4224-4229 (https://arxiv.org/abs/1811.06386)
[3] S. Isaac, D. Kahrobaei: A closer look at the tropical cryptography. International Journal of Computer Mathematics: Computer Systems Theory, (2021), (https://arxiv.org/abs/2011.14163)
[4] M. Kotov, A. Ushakov: Analysis of a key exchange protocol based on tropical matrix algebra. IACR Cryptology ePrint Archive (2015) (https://eprint.iacr.org/2015/852.pdf)
[5] M. Kotov, A. Ushakov: Implementation of attacks on a key excange protocol based on tropical matrix algebra. (https://github.com/mkotov/tropical)
[6] M. Mach: Kryptografie založená na polookruzích, diplomová práce, 2019 (zde)
[7] D. Rudy, Ch. Monico: Remarks on a Tropical Key Exchange System. Journal of Mathematical Cryptology, Vol. 15, No. 1 (2020), 280-283 (https://arxiv.org/abs/2005.04363)
Pěkný přehled různých algebraických metod v kryptografii je zde: Joachim Rosenthal
Cliffordova grupa představuje symetrie kvantového systému s N-hladinami, kde tyto hladiny odpovídají konfiguračnímu prostoru a jsou popsány jako prvky konečné abelovské grupy A. Struktura Cliffordovy grupy je spojena s tzv. Weilovou reprezentací. Smyslem práce by především bylo popsat přehledne strukturu Cliffordovy grupy (pro obecnou abelovskou grupu A). To je známo, pokud A má lichý řád (viz odkazy níže). Pak je Cliffordova grupa semidiretní součin jistých grup. Pokud má A sudý řád, pak se obvykle uvádí, že ji nelze napsat jako podobný semidiretní součin, ale tato tvrzení jsou uváděna bez podrobnějších zdůvodnění. Bylo by proto vhodné takové zdůvodnění najít. Symetrie se dají dále uplatnit v počítačové tomografii v souvislosti s Wignerovými funkcemi. Toto téma by se v práci dalo také rozvinout. Případ, kdy A je cyklická lichého řádu (tj. A odpovídá Z_N(+), N liché) je už zpracováno v nedávné bakalářské práci (viz níže).
Seznam odborné literatury
[1] D.M. Appleby: SIC-POVMs and the extended Clifford group. J. Math. Phys. Vol. 46 (2005) 052107 arxiv
[2] I. Bengtsson, K. Zyczkowski: Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement. (kapitola 12: Discrete structures in Hilbert space) Cambridge University Press, Cambridge 2017 arxiv
[3] K. Dutta, A. Prasad: Combinatorics of finite abelian groups and Weil representation. Pacific J. Math. Vol. 75, No. 2 (2015), 295-324 arxiv
[4] N. Kaiblinger, M. Neuhauser: Metaplectic operators for finite abelian groups and R^n. Indag. Mathem., N.S. Vol. 20, No. 2 (2009), 233-246. pdf
[5] J. Kovaľ: Struktura Cliffordových grup v konečně-rozměrné kvantové mechanice. bakalářská práce (2020) pdf
[6] U. Leonhardt: Discrete Wigner function and quantum-state tomography. Phys. Rev. Lett. Vol. 74, (1995) 4101