Matematická analýza 1
Bližší informace k předmětu najdete na moodlu a v týmu přednášky na MS Teams. (Verze pro OES, Matematika - kalkulus 1, je stejný předmět a řídí se stejnými pravidly.)
Aktuální verze slajdů k přednášce
Postup přednášky v ZS 25:
1. přednáška (23. 9.)Achilles a želva, použití matematické analýzy, výroky a logické operace s nimi, množiny a operace s nimi.
2. přednáška (24. 9.)
Intuitivní zavedení přirozených a celých čísel, racionální čísla, parita celých čísel, kvantifikátory, pojmy v matematice, přímý a nepřímý důkaz implikace, důkaz existence.
3. přednáška (30. 9.)
Důkazy sporem a matematickou indukcí, Bernoulliho nerovnost, kartézský součin, relace, zobrazení, definiční obor a obor hodnot, zúžení a rozšíření zobrazení, zobrazení prosté, surjektivní a bijekce, inverzní zobrazení.
4. přednáška (1. 10.)
Obraz a vzor množiny při zobrazení, konečné a nekonečné množiny, mohutnost, spočetnost, složené zobrazení, těleso, uspořádané těleso, omezené množiny, maximum, minimum, supremum, infimum.
5. přednáška (7. 10.)
Úplné uspořádané těleso, reálná čísla, rozšiření množiny reálných čísel, supremum a infimum neomezených reálných množin, kladná a záporná čísla, absolutní hodnota a její vlastnosti, existence dolní celé části, horní celá část, existence n-té odmocniny z kladného reálného čísla, hustota racionálních a iracionálních čísel, reálná funkce.
6. přednáška (8. 10.)
Omezené funkce, charakterizace omezenosti pomocí absolutní hodnoty, monotonní funkce a jejich vlastnosti, parita funkcí, periodické funkce, racionální mocniny a odmocniny, polynom, racionální funkce, charakteristická funkce, funkce signum, axiomatické zavedení exponenciální funkce.
7. přednáška (14. 10.)
Exponenciální funkce a logaritmus s přirozeným a obecným základem, goniometrické, cyklometrické a hyperbolické funkce a jejich vlastnosti.
8. přednáška (15. 10.)
Hyperbolometrické funkce, okolí a prstencové okolí bodu, jednostranná a oboustranná limita funkce a jejich vzájemný vztah, základní příklady.
9. přednáška (21. 10.)
Funkce nemající limitu, Dirichletova funkce, jednoznačnost limity, charakterizace konečné limity, jednostranná limita monotonní funkce, vztah limity a lokální omezenosti, spojitost a jednostranná spojitost funkce v bodě, spojitost na intervalu, limity a spojitost elementárních funkcí, zakázané výrazy s nekonečnem, věta o aritmetice limit.
10. přednáška (22. 10.)
Limita konstantního násobku funkce, aritmetika spojitostí, limita podílu s mizejícím jmenovatelem, "aritmetika neexistujících limit", věta o limitě a uspořádání (o jednom policajtu), věta o sevření (o dvou policajtech), limita součinu omezené a mizející funkce.
11. přednáška (29. 10.)
Důkaz věty o aritmetice limit (součet a součin pro vlastní limity), věta o jednom policajtu divergujícím k nekonečnu, základní srovnávací limity v nule pro důležité funkce, věta o limitě složené funkce, příklady na její kombinaci se srovnávacími limitami.
12. přednáška (31. 10.)
Důkaz věty o limitě složené funkce, jednostranné verze této věty, skládání spojitých funkcí, limity typu f^g, posloupnost, monotonie a omezenost posloupnosti.
13. přednáška (4. 11.)
Podposloupnost, limita posloupnosti, jednoznačnost limity posloupnosti, vztah mezi limitou posloupnosti a podposloupnosti, Heineho věta a její použití pro důkaz neexistence limity funkce, charakterizace konečné limity, limity základních posloupností, věty o aritmetice limit, limitě skalárního násobku, limitě a uspořádání a dvou policajtech pro posloupnosti, limita monotonní posloupnosti, limita složení funkce a posloupnosti, omezenost konvergentní posloupnosti, Bolzanova-Weierstrassova věta.
14. přednáška (11. 11.)
Derivace a diferencovatelnost funkce v bodě, derivace jako funkce, jednostranné varianty, derivace sudé a liché funkce, derivace základních funkcí, vztah diferencovatelnosti a spojitosti, aritmetika derivací, derivace složené funkce.
15. přednáška (12. 11.)
Derivace inverzní funkce, derivace důležitých inverzních funkcí, prostor spojitých funkcí, konvergence v uzavřeném intervalu, extrém funkce na množině, posloupnost mířící k supremu, nabývání extrému spojitou funkcí na uzavřeném omezeném intervalu.
16. přednáška (18. 11.)
Nabývání mezihodnot spojité funkce, vlastnosti inverze spojité funkce, vyšší derivace, vztah derivace a hodnot funkce na okolí, Fermatova věta o nutné podmínce extrému, kandidáti bidů extrému spojité funkce na uzavřeném omezeném intervalu.
17. přednáška (18. 11.)
Rolleova, Lagrangeova a Cauchyho věta o střední hodnotě, l'Hospitalovo pravidlo, příklady použití.
18. přednáška (19. 11.)
Odstrašující příklady na l'Hospitala, tečna a normála ke grafu funkce, Taylorův polynom, Taylorova věta, Taylorovy polynomy exponenciály, posunutého logaritmu, sinu a kosinu, zbytek při Taylorově aproximaci, Lagrangeův tvar zbytku, odhad hodnoty funkce s danou přesností pomocí Taylora a odhadu zbytku.
19. přednáška (25. 11.)
Vztah znaménka derivace a monotonie, lokální extrém, postačující podmínky lokálního extrému, konvexní a konkávní funkce, vztah druhé derivace a konvexity, jednostranné derivace a spojitost konvexních funkcí.
20. přednáška (26. 11.)
Primitivní funkce, rozdíl dvou primitivních funkcí, neurčitý integrál, integrování derivace, neurčité integrály elementárních funkcí, Darbouxova věta, existence primitivní funkce ke spojité funkci, linearita integrování, integrace per-partes.
Kotel matematické analýzy
Obsah v ZS 25:
1. kotel (24. 9.)
Matematická indukce. Broklovo lemma.
2. kotel (1. 10.)
Indukce, inverzní zobrazení. Machova indukce.
3. kotel (8. 10.)
Omezené množiny a funkce. Sukův odhad, Doležalovo minimum.
4. kotel (15. 10.)
Geometrická reprezentace hyperbolických funkcí, limita a lymyta, dva Machovy triky.
5. kotel (22. 10.)
Limes superior a limes inferior. Velký Bechynského bias, věta Morávkové o limitě monotonní funkce, Krejcarovi policajti, Brandalíkova vzpomínka na Cantora, Šintalovy podivné funkce.
6. kotel (29. 10.)
Monotonie exponenciály, černá magie a kreativní účetnictví. Teysslerova chytrost, černokněžnická cvičení Kučery a Morávkové.
7. kotel (12. 11.)
Důkaz Bolzanovy-Weierstrassovy věty. Sukův sponzorský dar, Broklův armagedon.
8. kotel (19. 11.)
Kopečkův důkaz Cauchyho věty, Machova funkce, Sukův bleší cirkus, kolektivní bias.
9. kotel (25. 11.)
Den probuzení.