Šuplík "neurčitý rozdíl"

Zde se podíváme na následující problém: Chceme najít limitu posloupnosti a když jsme zkusili dosadit nekonečno, dostali jsme neurčitý výraz ∞ − ∞.

Existuje standardní procedura, ale ta vede na docela hnusné výrazy, takže si to necháme až jako poslední řešení a nejprve zkusíme pár alternativ:

1. Jestliže jsou tyto dvě nekonečna poskládané z mocnin, exponenciál, logaritmů, faktoriálů, odmocnin a jejich kombinací, a dominantní mocniny jsou různé, dá se odpověď najít vytknutím, viz šuplík "polynomy a podíly s mocninami".

2. Pokud jsou ta nekonečna přímo odmocniny, často se problém vyřeší tak, že se zbavíme odmocnin a pokrátíme, viz šuplík "rozdíl odmocnin".

3. Někdy tyto dvě "nekonečna" umožňují přirozené algebraické zjednodušení do zlomku, typicky formou společného jmenovatele. Takové podíly jsou často neurčitého typu a můžeme použít l'Hospitalovo pravidlo.

4. Někdy je možné vytknout nějakou část a dostaneme součin. Máme-li štěstí, tento součin se dá rovnou vyhodnotit, často ale dostaneme součin neurčitého typu a řešíme ho příslušným způsobem, viz šuplík "neurčitý součin".

Obecně se dá rozdíl vyjádřit následovně: A − B = A⋅(1 − B/A). Pokud podíl B/A jde k 1, dostaneme neurčitý typ ∞⋅0, jinak dostaneme rovnou výsledek.

Příklad: Výraz n³ − n² je typu ∞ − ∞. Zkusíme vytknout první člen a dostaneme

n³ − n² = n³(1 − 1/n).

Když zkusíme dosadit nekonečno,, dostaneme ∞³⋅(1 − 1/∞) = ∞⋅(1 − 0) = ∞. Všimněte si, že jsme vlastně udělali přesně to vytýkání z první alternativy, protože n³ je dominantní mocnina.

5. Rozdíl se dá vždycky proměnit ve zlomek takto:

Jaký je typ tohoto výrazu?

Toto je neurčitý podíl a můžeme jej řešit pomocí l'Hospitalova pravidla. Jak nicméně vidíte, výsledný zlomek je dost komplikovaný, takže výpočty bývají dlouhé a je vždy lepší nejprve zkusit některý z předchozích triků a používat tento univerzální pouze jako poslední naději.

Podobně jako l'Hospitalovo pravidlo, i tato univerzální transformace někdy selže. Ukážeme, jak si poradí s příkladem počítaným výše:

Jak vidíte, nepomohlo to.

V části Řešené příklady - Limita jsou tyto metody použity v tomto příkladě.

Další šuplík: neurčitá mocnina
Zpět na Přehled metod - Limita