Zde se podíváme na následující problém: Chceme najít limitu posloupnosti a
když jsme zkusili dosadit nekonečno, dostali jsme neurčitý výraz
Existuje standardní procedura, ale ta vede na docela hnusné výrazy, takže si to necháme až jako poslední řešení a nejprve zkusíme pár alternativ:
1. Jestliže jsou tyto dvě nekonečna poskládané z mocnin, exponenciál, logaritmů, faktoriálů, odmocnin a jejich kombinací, a dominantní mocniny jsou různé, dá se odpověď najít vytknutím, viz šuplík "polynomy a podíly s mocninami".
2. Pokud jsou ta nekonečna přímo odmocniny, často se problém vyřeší tak, že se zbavíme odmocnin a pokrátíme, viz šuplík "rozdíl odmocnin".
3. Někdy tyto dvě "nekonečna" umožňují přirozené algebraické zjednodušení do zlomku, typicky formou společného jmenovatele. Takové podíly jsou často neurčitého typu a můžeme použít l'Hospitalovo pravidlo.
4. Někdy je možné vytknout nějakou část a dostaneme součin. Máme-li štěstí, tento součin se dá rovnou vyhodnotit, často ale dostaneme součin neurčitého typu a řešíme ho příslušným způsobem, viz šuplík "neurčitý součin".
Obecně se dá rozdíl vyjádřit následovně:
Příklad: Výraz
n3 − n2 = n3(1 − 1/n).
Když zkusíme dosadit nekonečno,, dostaneme
5. Rozdíl se dá vždycky proměnit ve zlomek takto:
Jaký je typ tohoto výrazu?
Toto je neurčitý podíl a můžeme jej řešit pomocí l'Hospitalova pravidla. Jak nicméně vidíte, výsledný zlomek je dost komplikovaný, takže výpočty bývají dlouhé a je vždy lepší nejprve zkusit některý z předchozích triků a používat tento univerzální pouze jako poslední naději.
Podobně jako l'Hospitalovo pravidlo, i tato univerzální transformace někdy selže. Ukážeme, jak si poradí s příkladem počítaným výše:
Jak vidíte, nepomohlo to.
V části Řešené příklady - Limita jsou tyto metody použity v tomto příkladě.
Další šuplík: neurčitá mocnina
Zpět na Přehled metod - Limita