Příklad: Najděte následující limitu (pokud existuje)

Řešení: Co se stane, když do výrazu dosadíme nekonečno? Víme, že sin(n) nemá limitu, takže pomocí algebry limit dostaneme

Kdybychom měli jen to obvyklé l'Hospitalovo pravidlo a chtěli jej použít, museli bychom dokázat, že čitatel jde do nekonečna. To opravdu platí (viz níže), ale naštěstí máme také obecnější verzi, která také platí na typ "něco děleno nekonečnem", takže už nemusíme dál nic analyzovat a rovnou jej aplikujeme (po přechodu na funkce):

Jak jsme dostali to "0" v posledním řádku? Máme pravidlo "nula krát omezená dává nulu" (viz šuplík srovnání a oscilace), která se přesně hodí na výrazy 1/(2x) a sin(x). Částečné výsledky jsou pak dány dohromady pomocí algebry N.

L'Hospitalovo pravidlo vedlo k posloupnosti, která nemá limitu. Co to znamená? Protože l'Hospitalovo pravidlo platí jen tehdy, když dá limitu, vyplývá z toho, že jeho aplikace nebyla úspěšná a nedává žádnou informaci ohledně původní posloupnosti. Daná posloupnost tedy klidně může mít limitu nebo ne, my prostě nevíme.

Co uděláme? Jsou dva možné přístupy. Jeden je si prostě říct, no dobře, když už nemůžeme spočítat odpověď, třeba ji dokážeme uhodnout pomocí intuitivího výpočtu. Co se stane, když se n stává velkým? Sinus osciluje mezi −1 a 1, takže člen nsin(n) osciluje mezi hodnotami -n a n. To znamená, že jej lze ignorovat ve srovnání s členem n² a můžeme tedy tvrdit, že

To bylo pěkné, jak ale dokážeme, že posloupnost konverguje k 1? Jedna možnost se nám nabídla z omezenosti sinu: Věta o sevření (viz šuplík "srovnání a oscilace"). Vlastně i kdybychom to hádání nedělali, stejně bychom o tomto šuplíku měli začít přemýšlet, protože se často používá na limity s oscilujícími členy, které působí potíže.

Nejprve musíme najít nějaké odhady, pak se podíváme na limity těchto omezení. Pokud budou stejné, dokázali jsme limitu.

Použili jsme faktu, že 1/n→1/∞ = 0. Náš tip je dokázaný.

Můžeme také zkusit tohle:

Zlomek sin(n)/n konverguje k nule, což se dá dokázat pomocí Věty o sevření podobně jak jsme to právě udělali, ale teď dokonce můžeme použít jeho verzi s absolutní hodnotou, která je jednodušší:

|sin(n)/n| = |sin(n)|/n ≤ 1/n→0.

Teď si vyzkoušíme nějaké modifikace tohoto příkladu, abychom viděli, jak se chovají oscilující výrazy.

Příklad: Najděte následující limitu (pokud existuje):

Řešení: Co se stane, když n jde do nekonečna? Přesně jako nahoře, sinová část v čitateli je zanedbatelná vzhledem k n², takže dostaneme

Nejjednodušší způsob, jak to dokázat, je asi srovnáním. Proč? Protože jsme odhadovali, že posloupnost konverguje do nekonečna, nepotřebujeme vlastně horní odhad, stačí najít vhodný dolní odhad, kterým "vytlačíme danou posloupnost nahoru". Protože srovnání je jednodušší než sevření, je výhodnější jej použít (pokud tedy pracuje).

Fungovalo, náš odhad je dokázaný.

Příklad: Najděte následující limitu (pokud existuje):

Řešení: Jak jsme ukázali výše, sinová část (tj. nsin(n)) osciluje mezi -n a n, teď to ovšem nemůžeme ignorovat vzhledem k tomu dalšímu n v čitateli. Někdy je ta sinová část skoro n, pak je čitatel zhruba 2n a zlomek je 2, a někdy je sinová část skoro -n, pak je vrch zlomku asi 0 a zlomek je také 0. Odhadneme tedy, že daný zlomek osciluje mezi 0 a 2. To je lépe vidět, pokud zkrátíme:

Teď je to jasné, algebra N říká, že "1 + N = N", takže daná limita neexistuje.

Příklad: Najděte následující limitu (pokud existuje):

Řešení: Co se tu stane? Jako u předchozího příkladu, čitatel osciluje mezi 0 a 2n; zde jej nicméně dělíme číslem n², odhadneme tedy, že daná posloupnost konverguje k nule. Jak to dokážeme? Nejlepší asi bude zase srovnání. Abychom si ušetřili trochu práce, můžeme zkusit verzi Věty o sevření s absolutní hodnotou, která má šanci fungovat, protože námi odhadnutá limita je nula.

Ano, fungovalo to.

Viděli jsme zde pár velice jednoduchých příkladů, které nicméně representují hlavní případy, které se mohou stát. Hlavní pointa je, že když čelíme situaci s neexistující limitou, hodně závisí na naší zlušenosti a intuici.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Limita