Příklad: Najděte následující limitu (pokud existuje)
Řešení:
Vidíme, že máme podíl mocnin, takže bychom rádi použili
intuitivní výpočet; bohužel je ale v
čitateli malý problém. Kdyby byl čitatel jen součet
Ve jmenovateli víme, že když je n hodně velké, pak
n3 je zanedbatelné vzhledem k faktoriálu n! a můžeme
to ignorovat. Víme také, že
Když nevíme, co dělat, je obvykle lepší začít jednodušším příkladem a pak zjistit, jestli to, co se dozvíme, také nepomůže u toho komplikovanějšího. Začneme tedy zkoumáním
Škála mocnin říká, že
"faktoriály přebijí exponenciály", to ale platí pouze pro věci jako
2n. Víme, že násobky v exponentu nevadí, například lze
použít
Jsme tedy nuceni s lítostí dojít k závěru, že škála mocnin nám nedá odpověď.
Přesto ale pomůže. Když jsme ji dokazovali,
důkazy používaly párování a
srovnání. Zde máme dvě věci. Faktoriál n!, což je součin n
věcí (čísla
Jak velké je toto číslo? Všimněte si, že všechny ty zlomečky jsou nejméně
jedna, protože
Poslední fakt vyplývá ze škály mocnin a dá se dokázat pomocí l'Hospitalova pravidla. Práve jsme pomocí srovnání dokázali, že zjednodušená posloupnost jde do nekonečna:
Teď tam vecpeme tu část n3 a tvrdíme, že ji faktoriály přebijí, a tak je zanedbatelně malá, pořád ještě máme
Jak bychom toto dokázali? Jsou dvě možnosti, Tradiční přístup z šuplíku polynomy a podíly s mocninami je vytknutím dominantních členů. Dostaneme
Nula při vyhodnocování jmenovatele vyplývá ze škály mocnin, "faktoriály přebijí mocniny." Jak bychom to dokázali, kdyby to bylo třeba? Dělá se to srovnáním (faktoriál se nedá derivovat, takže l'Hospital je rozhodně mimo hru, a jiná možnost se zrovna nenabízí).
To uzavřelo důkaz, že opravdu
Další způsob, jak dovnitř vpašovat n3, je využít přístup z poznámky o intuitivním výpočtu. Funguje to následovně: dvě posloupnosti mají tutéž limitu, jestliže jejich podíl konverguje k 1. Stačí tedy porovnat ty dvě posloupnosti, s a bez n3.
Všimněte si, že to bylo velmi podobné předchozímu výpočtu a použil se stejný
pomocný fakt o podílu
Popravdě řečeno, existuje mnohem snadnější způsob. Protože chceme ukázat, že
tato posloupnost jde do nekonečna, stačí najít vhodný dolní odhad pomocí již
známého výsledku. Ale to je snadné, z nerovnosti
Všimněte si, že kdyby ve jmenovateli bylo "+", toto srovnání by už nefungovalo:
Toto říká, že posloupnost nalevo má limitu nejvýše rovnou nekonečnu (pokud existuje), ale to nechává příliš volnosti - všechno je menší či rovno nekonečnu, posloupnost nalevo může klidně i oscilovat (a tak nemít limitu), nebo může jít do nekonečna, jen pomaleji než ta napravo, což se ve skutečnosti děje! Jak by se to dokázalo? Snadno, první dva důkazy, které jsme použili, také fungují s "+" ve jmenovateli.
To už stačí o tomto pomocném kroku. Teď bychom rádi nějak vpašovali dovnitř
Toto ukazuje, že
Dostali jsme neurčitý podíl a nemůžeme aplikovat l'Hospitalovo pravidlo, protože neumíme derivovat faktoriál. Algebraicky tedy neumíme přejít od známého k danému.
Což takhle srovnání? Máme
Bohužel, z tohoto typu srovnání nemůžeme udělat žádný závěr. Pokud má hledaná posloupnost limitu, měla by být menší nebo rovno nekonečnu (musíme přejít na "menší nebo rovno", srovnání nefunguje pro ostré nerovnosti), což znamená, že může být prakticky cokoliv, včetně možnosti, že nemá vůbec limitu.
Vidíme tedy, že nelze přejít od známého výsledku k dané posloupnsti přímo, musíme ji řešit nezávisle na posledním výsledku. Nicméně příklady jsou tak podobné, možná dostaneme nějakou inspiraci z toho, co už jsme udělali.
Jedna možnost je použít faktu, že n je nakonec mnohem větší než
V poslední nerovnosti jsme použili toho, že
Přesně jako předtím, teď už není problém propašovat do jmenovatele n3 a dokázat například srovnáním, že