Příklad: Najděte (pokud existuje) limitu

Řešení: Je to standardní problém, máme najít limitu v mínus nekonečnu výrazu, který existuje na okolí mínus nekonečna (např. pro x < 0). Začneme tedy dosazením mínus nekonečna do výrazu.

Dostali jsme neurčitý podíl, jaký bude nejlepší způsob řešení? Jedna možnost je zkusit l'Hospitalovo pravidlo.

Máme neurčitý součin ve jmenovateli. Standardní postup je změnit jej v podíl a pak nejspíše aplikovat l'Hospitalovo pravidlo na tento podíl, ale aby tohle fungovalo, tak bychom se museli zbavit ostatních částí tohoto výrazu (l'Hospitalovo pravidlo funguje jen na zlonky, ne na zlomky uvnitř něčeho). Nejjednodušší věc je prostě se podívat na ten zlobivý součin x2^x jako na samostatný problém. Jakmile se pro to rozhodneme, musíme udělat další rozhodnutí ohledně toho, kterou část součinu "dáme dolů". Normálně bychom dávali to x, protože jeho změnou v x⁻¹ nezvýšíme obtížnost problému. Bohužel, zde to tak dobré nebude.

Jak vidíte, finta je v tom, že exponenciála 2^x je derivací zachována, takže máme problém. Zkusíme to naopak:

Teď už víme, jak se chová ten součin, a jsme připraveni dokončit příklad.

Existuje snažší způsob? Nabízí se dvě alternativy. Obě vycházejí z pozorování, že daný výraz je podíl mocnin a exponenciál, což je něco, co dobře známe, ale máme tu malý problém: škála mocnin a intuitivní výpočet fungují pouze v nekonečnu, ne v mínus nekonečnu.

První možnost, kterou tak vidíme, je změnit mínus nekonečno v nekonečno pomocí substituce.

Teď je to typický výraz s mocninami a exponenciálami, jehož limita v nekonečnu jde uhádnout. Když je y opravdu velké, pak se y − 1 chová jako y a 1 − 2^y se chová jako −2^y, takže dostaneme

Odhadujeme tedy, že limita vyjde −1, což lze potvrdit vytknutím vedoucích členů. Intuitivní výpočet ukázal, že dominantní člen čitatel i jmenovatele je y2^y.

Změna mínus nekonečna v nekonečno tedy opravdu pomohly.

Jaká je ta druhá alternativa? Obvyklé hádání funguje v mínus nekonečno pro mocniny (a také polynomy). To naznačuje, že bychom mohli použít intuitivní přístup pouze na část daného výrazu, jmenovitě ty polynomy, a udělat část s 2^x samostatně, zvlášť když si všimneme, že nám na začátku po dosazení mínus nekonečna nedělala potíže.

Tohle bylo rozhodně to nejjednodušší řešení.

Jaké z toho plyne poučení? Když máme výraz, jenž má části různých typů, pak často pomůže výraz rozdělit a dávat části dohromady podle typu (pokud je to možné). V mnoha případech, když dáme podobné části dohromady, dostaneme šanci něco zkrátit. V našem příkladě se vyplatilo dát dohromady mocniny na straně jedné a exponenciály na straně druhé (byla tam jen jedna, ale myšlenka je snad jasná). Tento přístup může pomoci i u jiných otázek, nejen limit.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Limita