Příklad: Najděte (pokud existuje) limitu

Řešení: Je to standardní problém, máme najít limitu v nekonečnu výrazu, který existuje na okolí nekonečna (např. pro x > −1), začneme tedy dosazením nekonečna do výrazu.

Měli bychom začít tím neurčitým zlomkem, ale ten je vlastně snadný. Protože je to podíl polynomů v nekonečnu, můžeme použít triky z intuitivního výpočtu k odhadnutí výsledku:

Tuto odpověď můžeme potvrdit vytknutím, ale není kam spěchat, protože to by nám dalo informaci jen o druhé části daného výrazu. My teď víme, že celý výraz je neurčitý součin 0⋅∞, takže stejně ještě potřebujeme udělat nějakou práci. Co uděláme s celým výrazem? Je několik možností, nejpřirozenější je zahrnout exponenciálu ve své základní podobě do výrazu, jenž jsme odhadovali inuitivně. Pak identifikujeme dominantní členy a použijeme vytýkání ke korektnímu výpočtu.

Zlomek na konci je typu "nekonečno nad nekonečnem" a je to školní příklad na l'Hospitalovo pravidlo.

Tohle bylo asi optimální řešení. Jsou nějaké alternativy? Jedna možnost je podívat se na zlomek, který dostaneme po přesunutí 7^x do jmenovatele. Vznikne neurčitý podíl s "pěknými" funkcemi, takže by tu mohlo pomoci l'Hospitalovo pravidlo.

Možná to není tak pěkné jako to první řešení, ale pořád to jde.

Třetí možnost, která může napadnout, je tato: Na začátku jsme zjistili, že zlomek jde do nekonečna, a proto jsme měli neurčitý součin. Standardní přístup pak je "dát dolů" nějakou pěknou část, zde nejspíše exponenciálu 7^x, pak aplikovat l'Hospitalovo pravidlo.

Věci se změnily spíš k horšímu než lepšímu, takže tohle není moc dobré. Co bychom dělali dál, kdybychom neměli ta lepší řešení výše? Zlomek v čitateli jde k 1 (vedoucí mocnina nahoře i dole je x²), takže celý zlomek je 1/∞ = 0. Dokázat se to dá krácením v tom malém zlomku nahoře, ale když už jednou chcete dělat věci intuitivně, je rozumnější začít rovnou na začátku a udělat to první řešení.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Limita