Další kritéria pro řady s nezápornými členy

Zde jsme shromáždili několik kritérií, která jsou bezpochyby užitečná, ale méně pohodlná než kritéria pokrytá v dalších sekcích a proto vynechaná ve většině kursů kalkulu. Po Raabeho kritériu se podíváme na Kummerovo kritérium a některé jeho důsledky, na konci uvedeme Cauchyho kondenzační kritérium a Jermakovovo kritérium.

Raabeho kritérium

Jedním z nejpopulárnějších kritérií pro řady s kladnými členy je podílové kritérium. To je nerozhodné, jestliže máme λ = 1. Existují propracovanější kritéria, která pak mohou pomoci, dívají se blíže na to, jak přesně se zlomky a_k+1/a_k blíží k 1. Jako příklad si uvedeme jeden relativně neznámý testík, který dokonce ani nemá jméno.

Věta.
Uvažujme řadu  ∑ a_k  splňující a_k > 0 pro všechna k.
• Tato řada konverguje, jestliže

• Tato řada diverguje, jestliže existuje celé číslo N takové, že pro všechna k > N máme

Teď přejdeme k nejpopulárnějšímu kritériu pro případy, kdy jde a_k+1/a_k k 1. Dá se formulovat mnoha způsoby, my začneme tím, který se nejsnáze používá.

Věta (Raabeho kritérium - limitní verze).
Uvažujme řadu  ∑ a_k  splňující a_k > 0 pro všechna k. Předpokládejme, že limita

konverguje.
• Jestliže ϱ > 1, pak daná řada  ∑ a_k  konverguje.
• Jestliže ϱ < 1, pak daná řada  ∑ a_k  diverguje.

Případ ϱ = 1 zase nedává žádnou informaci. Pro příklad se podívejte na tento příklad v části Řešené příklady - Testování konvergence.

Stejně jako tomu bylo u odmocninového kritéria a podílového kritéria, předpoklad o existenci limity muže být příliš náročný. Některé verze se s tím vypořádávají pomocí limsup, jiní tu limitu zcela vzdají a dívají se na jednotlivé zlomky. Jedna možná verze vypadá takto.

Věta (Raabeho kritérium).
Uvažujme řadu  ∑ a_k  splňující a_k > 0 pro všechna k.
• Jestliže existuje A > 1 a celé číslo N takové, že pro všechna k > N máme

pak daná řada  ∑ a_k  konverguje.
• Jestliže existuje reálné číslo M a celé číslo N takové, že pro všechna k > N máme

pak daná řada  ∑ a_k  diverguje.

Jak už jsme naznačili, existuje hodně modifikací tohoto testu. Následuje jedna z vůbec nejobecnějších.

Věta (Raabeho kritérium).
Uvažujme řadu  ∑ a_k  splňující a_k > 0 pro všechna k. Předpokládejme, že existuje reálné číslo A a čísla v_k taková, že pro všechna k máme

a řada  ∑ v_k  je absolutně konvergentní.
Pak daná řada  ∑ a_k  konverguje tehdy a jen tehdy, když A >1.

Vidíme, že zde máme ekvivalenci, což je na test konvergence dost silné. Poznamenejme, že se všechna kritéria výše dají formulovat tak, že se namísto podílu a_k+1/a_k použije a_k/a_k+1. Pak není tak blízké napojení na podílové kritérium, ale zase to víc zapadá do obecnějšího obrazu. Tím je, že Raabeho kritérium je vlastně jen speciální verze Kummerova kritéria, kde se tradičně pracuje s tím druhým podílem.

Teď přichází asi nejmocnější test konvergence, už proto, že jeho tvrzení nejsou implikace, ale ekvivalence.

Věta (Kummerovo kritérium).
Uvažujme řadu  ∑ a_k  splňující a_k > 0 pro všechna k.
• Řada konverguje tehdy a jen tehdy, když existuje nějaké A > 0, kladná čísla p_k a celé číslo N takové, že pro všechna k > N máme

• Řada diverguje tehdy a jen tehdy, když existují nějaká kladná čísla p_k taková, že  , a celé číslo N takové, že pro všechna k > N máme

Ty ekvivalence vypadají úctyhodně, ale právě tato obecnost způsobuje, že v praxi je tato věta dost nepraktická. Poněkud jednodušší (a méně silná) verze používá limitu.

Věta (Kummerovo kritérium - limitní verze).
Uvažujme řadu  ∑ a_k  splňující a_k > 0 pro všechna k. Předpokládejme, že pro nějaká kladná čísla p_k limita

konverguje.
• Jestliže ϱ > 0, pak daná řada  ∑ a_k  konverguje.
• Jestliže ϱ < 0 a  , pak daná řada  ∑ a_k  diverguje.

Existují drsné řady, u kterých jsme rádi, že máme mocnou obecnou verzi Kummerova kritéria, ale pro méně divoké řady je to kanón na vrabce. Ta těžká část je přijít na čísla p_k, pro která by tento test fungoval, protože jejich volba může být dosti složitá. Pro jednodušší řady proto raději používáme méně silné ale uživatelsky přívětivější důsledky. Například pokud se rozhodneme vzít p_k = 1 pro všechna k, tak dostaneme podílové kritérium. Pokud se rozhodneme vzít p_k = k pro všechna k, tak dostaneme Raabeho kritérium.

Jsou další způsoby, jak oslabit Kummerovo kritérium. Hlubší analýza ukazuje, že kritická otázka je následující: Jak se a_k/a_k+1 porovná s 1 + 1/k? Některé testy se dívají právě na tuto otázku.

Věta (Gaussovo kritérium).
Uvažujme řadu  ∑ a_k  splňující a_k > 0 pro všechna k. Předpokládejme, že existuje reálné číslo A, číslo r > 1 a omezená posloupnost {B_k} taková, že pro všechna k máme

Pak řada  ∑ a_k  konverguje tehdy a jen tehdy, když A > 1.

Zde také máme podivná čísla B_k, takže oč je to lepší než Kummerovo kritérium? Zatímco v tom testu musíme čísla p_k, nějak uhodnout, v Gaussově kritériu máme rozumný postup, jak příslušné konstanty najít. Nejlepší A se najde limitou a pak se podíváme na to, co zbyde, jmenovitě definujeme

Pak zkusíme najít r > 1 tak, aby B_k = D_k⋅k ^r byly omezené. Pokud takové r najdeme, můžeme použít Gaussovo kritérium. Pro ukázku se podívejte na tento příklad v části Řešené příklady - Testování konvergence.

Mimochodem, pokud bychom chtěli verzi Raabeho kritéria, které používá a_k/a_k+1 namísto a_k+1/a_k jak to máme výše, tak bychom potřebovali přesně limitu pro A, kterou jsme teď použili.

Následující test se také někdy nazývá deMorgan-Bertrandovo kritérium.

Věta (Bertrandovo kritérium).
Uvažujme řadu  ∑ a_k  splňující a_k > 0 pro všechna k. Nechť čísla ϱ_k splňují (pro všechna k)

• Jestliže  liminf(ϱ_k) > 1, pak daná řada  ∑ a_k  konverguje.
• Jestliže  limsup(ϱ_k) < 1, pak daná řada  ∑ a_k  diverguje.

Tento test je ještě jasnější, prostě spočítáme ty ró a pak se na ně podíváme.

Často se stává, že členy dané řady jdou k nule. Konvergence či divergence této řady se pak rozhodne tím, jak rychle tam členy konvergují. Jedna možnost, jak využít této situace, je uvědomit si, že rychlost konvergence nemusíme měřit všude, stačí jen někde ("skákat" v řadě).

Věta (Cauchyho kondenzační kritérium).
Uvažujme řadu  ∑ a_k  takovou, že {a_k} je nerostoucí posloupnost kladných čísel.
Tato řada konverguje tehdy a jen tehdy, když řada    konverguje.

Následující test se také dívá blíže na to, jak rychle jdou členy k nule.

Věta (Jermakovovo kritérium).
Uvažujme řadu  ∑ a_k. Nechť f je nerostoucí kladná funkce taková, že a_k = f (k). Předpokládejme, že limita

konverguje.
• Jestliže r < 1, pak daná řada  ∑ a_k  konverguje.
• Jestliže r > 1, pak daná řada  ∑ a_k  diverguje.

Také tento test má verzi, která obchází problém konvergence té limity, jmenovitě pro konvergenci řady stačí, že limsup je menší než 1, zatímco pro divergenci řady stačí, že liminf je větší než 1.

Existuje i obecnější verze, namísto práce s exponenciálou v té limitě si můžeme vybrat libovolnou rostoucí a derivovatelnou funkci g, která roste dostatečně rychle, jmenovitě je třeba splnit podmínku g(x) > x; pak se r dostane jako limita g′(x)f (g(x))/f (x).

Pro ukázku použití těchto dvou testů viz tento příklad v části Řešené příklady - Testování konvergence.

Konvergence obecných řad
Zpět na Teorie - Testování konvergence