Zde jsme shromáždili několik kritérií, která jsou bezpochyby užitečná, ale méně pohodlná než kritéria pokrytá v dalších sekcích a proto vynechaná ve většině kursů kalkulu. Po Raabeho kritériu se podíváme na Kummerovo kritérium a některé jeho důsledky, na konci uvedeme Cauchyho kondenzační kritérium a Jermakovovo kritérium.
Jedním z nejpopulárnějších kritérií pro řady s kladnými členy je
podílové kritérium. To je
nerozhodné, jestliže máme
Věta.
Uvažujme řadu∑ ak splňujícíak > 0 pro všechna k.
• Tato řada konverguje, jestliže• Tato řada diverguje, jestliže existuje celé číslo N takové, že pro všechna
k > N máme
Teď přejdeme k nejpopulárnějšímu kritériu pro případy, kdy jde
Věta (Raabeho kritérium - limitní verze).
Uvažujme řadu∑ ak splňujícíak > 0 pro všechna k. Předpokládejme, že limitakonverguje.
• Jestližeϱ > 1, pak daná řada∑ ak konverguje.
• Jestližeϱ < 1, pak daná řada∑ ak diverguje.
Případ
Stejně jako tomu bylo u odmocninového kritéria a podílového kritéria, předpoklad o existenci limity muže být příliš náročný. Některé verze se s tím vypořádávají pomocí limsup, jiní tu limitu zcela vzdají a dívají se na jednotlivé zlomky. Jedna možná verze vypadá takto.
Věta (Raabeho kritérium).
Uvažujme řadu∑ ak splňujícíak > 0 pro všechna k.
• Jestliže existujeA > 1 a celé číslo N takové, že pro všechnak > N mámepak daná řada
∑ ak konverguje.
• Jestliže existuje reálné číslo M a celé číslo N takové, že pro všechnak > N mámepak daná řada
∑ ak diverguje.
Jak už jsme naznačili, existuje hodně modifikací tohoto testu. Následuje jedna z vůbec nejobecnějších.
Věta (Raabeho kritérium).
Uvažujme řadu∑ ak splňujícíak > 0 pro všechna k. Předpokládejme, že existuje reálné číslo A a čísla vk taková, že pro všechna k mámea řada
∑ vk je absolutně konvergentní.
Pak daná řada∑ ak konverguje tehdy a jen tehdy, kdyžA >1.
Vidíme, že zde máme ekvivalenci, což je na test konvergence dost silné.
Poznamenejme, že se všechna kritéria výše dají formulovat tak, že se
namísto podílu
Teď přichází asi nejmocnější test konvergence, už proto, že jeho tvrzení nejsou implikace, ale ekvivalence.
Věta (Kummerovo kritérium).
Uvažujme řadu∑ ak splňujícíak > 0 pro všechna k.
• Řada konverguje tehdy a jen tehdy, když existuje nějakéA > 0, kladná čísla pk a celé číslo N takové, že pro všechnak > N máme• Řada diverguje tehdy a jen tehdy, když existují nějaká kladná čísla pk taková, že , a celé číslo N takové, že pro všechna
k > N máme
Ty ekvivalence vypadají úctyhodně, ale právě tato obecnost způsobuje, že v praxi je tato věta dost nepraktická. Poněkud jednodušší (a méně silná) verze používá limitu.
Věta (Kummerovo kritérium - limitní verze).
Uvažujme řadu∑ ak splňujícíak > 0 pro všechna k. Předpokládejme, že pro nějaká kladná čísla pk limitakonverguje.
• Jestližeϱ > 0, pak daná řada∑ ak konverguje.
• Jestližeϱ < 0 a , pak daná řada∑ ak diverguje.
Existují drsné řady, u kterých jsme rádi, že máme mocnou obecnou verzi
Kummerova kritéria, ale pro méně divoké řady je to kanón na vrabce. Ta těžká
část je přijít na čísla pk, pro která by tento test
fungoval, protože jejich volba může být dosti složitá. Pro jednodušší řady
proto raději používáme méně silné ale uživatelsky přívětivější důsledky.
Například pokud se rozhodneme vzít
Jsou další způsoby, jak oslabit Kummerovo kritérium. Hlubší analýza ukazuje,
že kritická otázka je následující: Jak se
Věta (Gaussovo kritérium).
Uvažujme řadu∑ ak splňujícíak > 0 pro všechna k. Předpokládejme, že existuje reálné číslo A, číslor > 1 a omezená posloupnost{Bk} taková, že pro všechna k mámePak řada
∑ ak konverguje tehdy a jen tehdy, kdyžA > 1.
Zde také máme podivná čísla Bk, takže oč je to lepší než Kummerovo kritérium? Zatímco v tom testu musíme čísla pk, nějak uhodnout, v Gaussově kritériu máme rozumný postup, jak příslušné konstanty najít. Nejlepší A se najde limitou a pak se podíváme na to, co zbyde, jmenovitě definujeme
Pak zkusíme najít
Mimochodem, pokud bychom chtěli verzi Raabeho kritéria, které používá
Následující test se také někdy nazývá deMorgan-Bertrandovo kritérium.
Věta (Bertrandovo kritérium).
Uvažujme řadu∑ ak splňujícíak > 0 pro všechna k. Nechť číslaϱk splňují (pro všechna k)• Jestliže
liminf(ϱk) > 1, pak daná řada∑ ak konverguje.
• Jestliželimsup(ϱk) < 1, pak daná řada∑ ak diverguje.
Tento test je ještě jasnější, prostě spočítáme ty ró a pak se na ně podíváme.
Často se stává, že členy dané řady jdou k nule. Konvergence či divergence této řady se pak rozhodne tím, jak rychle tam členy konvergují. Jedna možnost, jak využít této situace, je uvědomit si, že rychlost konvergence nemusíme měřit všude, stačí jen někde ("skákat" v řadě).
Věta (Cauchyho kondenzační kritérium).
Uvažujme řadu∑ ak takovou, že{ak} je nerostoucí posloupnost kladných čísel.
Tato řada konverguje tehdy a jen tehdy, když řada konverguje.
Následující test se také dívá blíže na to, jak rychle jdou členy k nule.
Věta (Jermakovovo kritérium).
Uvažujme řadu∑ ak. Nechť f je nerostoucí kladná funkce taková, žeak = f (k). Předpokládejme, že limitakonverguje.
• Jestližer < 1, pak daná řada∑ ak konverguje.
• Jestližer > 1, pak daná řada∑ ak diverguje.
Také tento test má verzi, která obchází problém konvergence té limity, jmenovitě pro konvergenci řady stačí, že limsup je menší než 1, zatímco pro divergenci řady stačí, že liminf je větší než 1.
Existuje i obecnější verze, namísto práce s exponenciálou v té limitě si
můžeme vybrat libovolnou rostoucí a derivovatelnou funkci
g, která roste dostatečně rychle, jmenovitě je třeba splnit podmínku
Pro ukázku použití těchto dvou testů viz tento příklad v části Řešené příklady - Testování konvergence.
Konvergence obecných řad
Zpět na Teorie - Testování
konvergence