Konvergence obecných řad

Zatímco pro řady s nezápornými členy máme spoustu testů, většinu ztratíme v okamžiku, když dovolíme členům řady měnit znaménka. Je velice málo testů, které by fungovaly pro obecné řady. Těmi tedy začneme. Pak se podíváme na Leibnizovo kritérium, budeme diskutovat absolutní konvergenci a sekci uzavřeme s Abelovým kritériem a Dirichletovým kritériem.

Nejjednodušší obecný test je

Nutná podmínka konvergence.
Jestliže posloupnost {ak} nejde k nule, tak řada  ∑ ak  diverguje.

(Viz Základní vlastnosti v části Teorie - Úvod.) Je to ale jen implikace a bohužel pomůže jen zřídka. Mnohem užitečnější (i když rozhodně ne univerzálně použitelné) jsou verze populárních odmocninového a podílového kritéria pro obecné řady.

Věta (odmocninové kritérium pro obecné řady).
Uvažujme řadu  ∑ ak.  Předpokládejme, že limita

konverguje.
• Jestliže ϱ < 1, pak daná řada konverguje.
• Jestliže ϱ > 1, pak daná řada diverguje.

Věta (podílové kritérium pro obecné řady).
Uvažujme řadu  ∑ ak.  Předpokládejme, že limita

konverguje.
• Jestliže λ < 1, pak daná řada konverguje.
• Jestliže λ > 1, pak daná řada diverguje.

(Viz poznámka na konci sekce Odmocninové a podílové kritérium v části Teorie - Testování konvergence.) Jako obvykle v případech, kdy tyto konstanty vyjdou rovny 1, nemůžeme říst o dané řadě nic.

Leibnizovo kritérium

Často se vyskytnou případy, kdy se znaménka v řadě střídají ...+ − + − +... (tedy řada je alternující) a členy jsou v absolutní hodnotě klesající. V takovém případě jde o nejlepší možnou situaci, protože máme jednoduchý test konvergence, který dává kompletní informaci.

Věta (Leibnizovo kritérium).
Uvažujme řadu, kterou lze vyjádřit jako  ∑ (−1)kbk  pro nějaká kladná bk, která tvoří nerostoucí posloupnost.
Tato řada konverguje tehdy a jen tehdy, když posloupnost {bk} jde k 0.

Poznamenejme, že jeden směr ve větě je triviální. Pokud čísla bk nejdou k nule, pak také členy řady ak = (−1)kbk nejdou nule a řada tedy diverguje podle nutné podmínky konvergence. Na druhou stranu víme, že když členy ak jdou k nule, tak obecně nemůžeme nic říct, ale v alternující situaci už to stačí k vynucení konvergence. To je na tom testu nejdůležitější.

Všimněte si, že ten test také funguje na řady, jejichž znaménka jdou přesně opačně, formálně (−1)k+1bk pro nějaká kladná bk (neboli odečítáme všechny sudé členy namísto všech lichých). Máme-li totiž takovou řadu, tak můžeme vytknout mínus z celé řady, pak dostaneme novou řadu, jejíž znaménka jdou podle vzorce z kritéria a jejíž konvergence je ekvivalentní konvergenci dané řady.

Příklad: Vyšetřete konvergenci řady

Vidíme, že každý člen dané řady lze vyjádřit jako (−1)k+1bk pro bk = 1/k > 0. Po vytknutí jednoho mínusu dostaneme řadu, jejíž členy jsou už (−1)kbk, takže mezi těmito dvěma formami opravdu není rozdíl. Můžeme aplikovat Leibnizovo kritérium: Posloupnost {1/k} je klesající a jde k 0, takže podle tohoto kritéria daná řada konverguje.

Poznamenejme, že také šlo změnit tuto řadu na "správnou alternující" následující změnou indexace:

Pak můžeme použít Leibnizovo kritérium s bn = 1/(n − 1).

Několik ukázek lze najít v části Řešené příklady - Testování konvergence, jmenovitě tento příklad a tento příklad.

V pokročilejších kursech se studenti učí také méně populární testy, které mohou pomoci i s jinými kombinacemi znamének než je ta alternující situace. Na konci této sekce ukážeme Dirichletovo kritérium, které je možné vidět jako zobecnění Leibnizova kritéria na komplikovanější vzorce znamének.

Absolutní konvergence

Samozřejmě v situaci, kdy členy řady mění znaménka, bychom museli mít opravdu štěstí, aby byla alternující, protože je mnoho způsobů, kterými se znaménka mohou měnit. Pak nelze použít Leibnizovo kritérium, dokonce ani když znaménka sledují určitý vzor (například dva plusy vždy následované jedním mínusem a tak). Všimněte si mimochodem, že v situaci "+ + −" selže dokonce i obecnější Dirichletovo kritérium, takže znaménka mohou snadno začít zlobit. Co dělat v případě, kdy selžou i obecné testy z první části této sekce? Nabízí se nápad znaménka prostě zrušit, zbavit se jich aplikováním absolutní hodnoty na členy řady. Pak můžeme použít všechna ta báječná kritéria, ale bohužel je aplikujeme na jinou řadu, než kterou máme zkoumat. Naštěstí pro nás je tu jednosměrné spojení.

Pokud zjistíme, že řada  ∑ |ak|  konverguje, pak také daná řada  ∑ ak  konverguje (to byla věta v části Teorie - Úvod - Absolutní konvergence). To znamená, že musíme spoléhat na štěstí. Máme dánu řadu, jejíž znaménka se mění (ne alternujícím způsobem), na verzi s absolutními hodnotami aplikujeme testy a pokud máme štěstí, tak dostaneme konvergenci, pak také naše původní řada konverguje.

Může se ovšem také stát, že řada s absolutními hodnotami diverguje, a pak o konvergenci dané řady nevíme nic. Pro takovou situaci nemáme obecný návod, každá řada je individuální problém a vše závisí na naší zkušenosti, zkoušíme najít nějaký trik k určení její konvergence.

Někdy se dá použít jeden z následujících dvou testů.

Abelovo kritérium, Dirichletovo kritérium

Následující kritérium nám umožňuje vzít řadu, o které víme, že konverguje, a modifikovat ji bez ztráty její konvergence.

Věta (Abelovo kritérium).
Uvažujme konvergentní řadu  ∑ ak. Předpokládejme, že {bk} je monotonní a konvergentní posloupnost. Pak také řada  ∑ akbk  konverguje.

Abelovo kritérium se dá získat z následujícího, obecnějšího kritéria.

Věta (Dirichletovo kritérium).
Uvažujme řadu  ∑ ak  takovou, že jsou všechny její částečné součty omezené; to znamená, že existuje nějaké M takové, že pro všechny N máme

Předpokládejme, že {bk} je nerostoucí posloupost kladných čísel, která jde k 0. Pak řada  ∑ akbk  konverguje.

Pro příklady viz tento příklad a tento příklad v části Řešené příklady - Testování konvergence.

Tento test lze použít v širokém spektru situací, ale jedna konkrétní situace stojí za bližší rozmyšlení. Všimněte si, že tento test také implikuje Leibnizovo kritérium výše. Schválně si představme situaci jako v předpokladech Leibnizova kritéria. Máme kladná čísla bk, která jsou nerostoucí a jdou k nule. Teď z nich vyrobíme alternující řadu, což se dá interpretovat následovně: Vytvoříme řadu se členy akbk, kde ak = (−1)k. Víme, že částečné součty řady 1 + 1 − 1 + ... jsou buď 1 nebo 0, takže jsou omezené a čísla ak splňují předpoklady Dirichletova kritéria, totéž platí pro čísla bk a my tedy dostaneme konvergenci.

Právě jsme vysvětlili, proč Dirichletovo kritérium zobecňuje Leibnizovo kritérium, je ale zajímavé se k té situaci ještě vrátit a trochu se v ní pošťourat. Tvrdíme, že když začneme s kladnými čísly bk, která jsou nerostoucí a jdou k nule, pak nám Direchletovo kritérium umožňuje je modifikovat znaménky i jinými způsoby než tím alternujícím. A opravdu, předpokládejme, že členy ak jsou čísla −1 a 1, která jsou vybrána takovým způsobem, že se určitý vzor opakuje stále dokola (jakási periodická posloupnost). Pokud je v tomto vzoru stejný počet plusů a mínusů, pak mohou částečné součty zase nabývat jen několika hodnot, tudíž jsou omezené a Dirichletovo kritérium dává konvergenci. Toto je rozhodně významné vylepšení ve srovnání s dost speciálním Leibnizovým kritériem. Tuto sekci uzavřeme formální formulací tohoto zobecnění.

Fakt.
Uvažujme čísla ak = ±1. Předpokládejme, že existuje T > 0 takové, že akT+i = ai pro všechna přirozená čísla k a celá čísla i splňující 0 ≤ i < T. Nechť

a1 + a2 + ... + aT = 0.

Předpokládejme, že {bk} je nerostoucí posloupnost kladných čísel jdoucí k nule. Pak řada  ∑ akbk  konverguje.


Zpět na Teorie - Testování konvergence