Testování konvergence řad

Zde se podíváme na problém testování konvergence řad. Pokud chcete zároveň sledovat ve vedlejším okně jiný text o testování konvergence, klikněte sem pro Přehled metod a sem pro Řešené příklady.

Testování konvergence řad, které nejsou nějakým způsobem speciální, je velmi obtížné a nejsou na to spolehlivé metody. Asi nejobecnější tvrzení, které zde nabízíme, je nutná podmínka konvergence, viz příslušná věta v části Testování konvergence - Konvergence obecných řad. Říká, že řada diverguje, pokud její jednotlivé členy nejdou coby posloupnost k nule. Zatímco formálně to platí o všech řadách, ve většině případů to není užitečné, protože to nenabízí žádnou informaci o konvergenci řad, jejichž členy k nule jdou. Jak se dá očekávat, to jsou právě ty řady, které nás obvykle zajímají.

Jeden z důvodů, proč se těžko hledají obecná kritéria konvergence, je široká svoboda chování, kterou řady mají. Hlavně může řada divergovat mnoha různými způsoby a je těžké je všechny zachytit v jednom testu. Je tedy přirozené se podívat na speciální řady. Volba je jasná, motivovaná příslušnou větou ze sekce Základní vlastnosti v části Teorie - Úvod do řad. V zásadě to říká, že pokud mají členy řady všechny stejné znaménko (i nuly jsou povoleny), tak má řada jen dvě možnosti, buď konverguje, nebo se nasčítá do nekonečna (či mínus nekonečna, podle znaménka členů). Ukazuje se, že v takové jednodušší situaci (konvergence či nekonečno) je mnohem snažší rozlišit mezi těmito dvěma případy, protože pak je to jen otázka, jak velké jednotlivé členy dané řady jsou. Stačí přitom uvažovat jen řady, jejichž členy jsou všechny nezáporné (kladné či nula), protože u řad se všemi členy nekladnými můžeme vytknout znaménko mínus z řady a dostaneme řadu s nezápornými členy.

Níže ukážeme několik velice silných testů pro řady s nezápornými členy. Tato podmínka může vypadat dost omezující, ale není to tak špatné. Mnohé řady do této kategorie spadají, navíc často zkoumáme absolutní konvergenci, kde na jednotlivé členy řady aplikujeme absolutní hodnotu, tudíž můžeme použít všechny testy pro řady s nezápornými členy. To je ostatně jedna ze strategií doporučených v poslední sekci níže, kde ukážeme nějaké nápady, jak jít na řady s měnícími se znaménky.