Příklad: Určete, zda následující řada konverguje.
Řešení: Členy této řady jsou kladné, takže můžeme použít všechny ty báječné testy, a jako posloupnost jdou evidentně k nule, takže je tu šance na konvergenci. Všimněte si, že chování této řady závisí na parametru p, takže se dá čekat, že i odpověď bude na p záviset.
Jaká kritéria můžeme použít? Protože v členech této řady vystupují jen k a logaritmus, zkušenost naznačuje, že není dobrý nápad zkoušet odmocninové kritérium nebo podílové kritérium. A opravdu,
V obou případech dostáváme neurčitou odpověď 1. Mimochodem, v oněch limitách jsme použili následující výpočty k vyřešení neurčité mocniny a neurčitého podílu:
Často nám dobře poslouží srovnání. Zde se můžeme zkusit zbavit logaritmu. Protože jeho vynechání podstatně změní podstatu členů, nemůžeme použít limitní srovnávací kritérium (kde říkáme, že ak je v zásadě jako bk), ale můžeme doufat, že zabere obyčejné srovnání. Všimněte si ale, že když tu logaritmickou část vynecháme, tak nový výraz může být větší i menší - podle hodnoty p.
Za prvé, pokud je p záporné či nula, pak máme
Víme, že řada napravo diverguje, protože je to ta slavná harmonická řada nebo použijeme p-test. Daná řada je ještě větší, takže podle srovnání musí také divergovat. Teď už tedy víme, co se stane, když je p nejvýše nula. Což takhle když je p kladné? Pak máme
Srovnání teď jde špatným směrem a nemůžeme říct nic. Dá se získat nějaký odhad zdola? Vlastně ano, protože víme, že mocniny přebijí logaritmy. To znamená, že pro velká k můžeme logaritmickou část majorizovat pomocí mocniny s libovolným kladným exponentem c:
Protože nechceme při tomto srovnání ztratit příliš mnoho, zkusíme vzít
c velmi malé (nerovnost pak platí jen pro velmi velká k, ale
to stačí), ale ať už vezmeme jakkoliv malé c, vždycky ztrácíme
příliš. Je to vidět z toho, že podle
Nakonec se tedy obracíme ke kritériu, které je méně populární, ale tady je
jasnou volbou, jmenovitě k
integrálnímu kritériu. Funkce
Teď nám p-test říká, že integrál konverguje, přesně když
Závěr: Daná řada konverguje tehdy a jen tehdy, když
Zkušený řešič řad by samozřejmě rovnou skočil po integrálním kritériu, ale pak bychom přišli o to napětí a krásný způsob, kterým nám srovnání dokázalo divergenci pro p záporné či nulové.
Je nějaká alternativa? Popravdě řečeno je, v sekci Další kritéria v části Teorie - Testování konvergence jsou k nalezení kondenzační testy, které tu mohou pomoci. O kladnosti a klesajícnosti členů už jsme se zmiňovali, takže technické předpoklady Cauchyho kritéria jsou splněny. Ten nám umožňuje přejít k řadě
Teď použijeme p-test a dostaneme stejnou odpověď, jmenovitě že tato
řada a tudíž i daná řada konvergují, přesně když
Můžeme také použít Jermakovovo kritérium.
Vidíme, že jestliže
Další příklad
Zpět na Řešené příklady -
Testování konvergence