Příklad: Určete, zda následující řada konverguje.
Řešení: Členy této řady jsou všechny kladné, takže můžeme použít všechny ty báječné testy. Který z nich ale bude fungovat? Protože členy obsahují faktoriály, jasnou volbou je podílové kritérium. Možná ale bude lepší se na členy nejprve podívat blíže, abychom viděli, jak se chovají (připomeňme si definici dvojitého faktoriálu z části Funkce - Teorie - Elementární funkce).
Protože je poslední malý zlomek pro velká k přibližně roven 1, ale je vždy menší než 1, tak není jasné, jak se celý velký zlomek chová, například zda jde k 0. Zkusíme podílové kritérium a uvidíme, co se stane, jako obvykle dáme spolu části se stejným původem.
Tohle je pro podílové kritérium neurčitá hodnota, a tak pořád nevíme o dané řadě nic.
Jaké máme jinak možnosti? Faktoriály neumíme integrovat, takže integrální
kritérium je mimo hru. Dělat k-tou odmocninu z faktoriálu také není
moudré a podle předchozího výsledku bychom stejně dostali
Pokud chceme uspět, musíme hrábnout hlouběji do naší pokladnice, jmenovitě v sekci Další kritéria v části Teorie - Testování konvergence jsme měli testy, které vylepšují podílové kritérium, testy, které (někdy) mohou pomoci, když podílové kritérium vyjde neurčité. Začneme s tím nejjednodušším, limitní verzí Raabeho kritéria.
Podle Raabeho kritéria daná řada konverguje, jestliže
Případ
Vidíme, že
Pomocí
limitního srovnávacího kritéria
snadno ukážeme, že řada se členy vk konverguje,
porovnáme ji s p-řadou
s
Takže jsme uspěli s přípravou "nejobecnější verze" Raabeho kritéria, máme
Závěr: Daná řada konverguje, přesně když
Poznámka: Zatímco první krok byl docela přímočarý, rozhodování o
případě
Úspěšně jsme si připravili situaci tak, jak to vyžaduje Gaussovo kritérium,
všimněte si, že Bk tvoří omezenou posloupnost a
Další příklad
Zpět na Řešené příklady -
Testování konvergence