Jeden typ řady známe velice dobře - geometrickou řadu. Může proto pomoci, pokud zjistíme, že daná řada je podobná geometrické řadě. Odmocninové kritérium a podílové kritérium jsou v zásadě dva způsoby, jak takovou podobnost rozeznat. Nejprve ukážeme populárnější typ těchto dvou testů - limitní verzi.
Věta (odmocninové kritérium - limitní verze).
Uvažujme řadu∑ ak splňujícíak ≥ 0 pro všechna k. Předpokládejme, že limitakonverguje.
• Jestližeϱ < 1, pak daná řada konverguje.
• Jestližeϱ > 1, pak daná řada diverguje.
Říká se tomu také D'Alambertovo kritérium. Proč to takto funguje? Limitní výsledek ríká, že pro opravdu velká k v zásadě máme
Takže řada, která splňuje předpoklady tohoto testu, opravdu vypadá jako
geometrická řada (pro velká k, tedy na svém konci, ale víme, že
konvergence se rozhoduje na konci řady). Teď by měl být závěr jasný
(nebo alespoň uvěřitelný). Co s případem
Věta (podílové kritérium - limitní verze).
Uvažujme řadu∑ ak splňujícíak > 0 pro všechna k. Předpokládejme, že limitakonverguje.
• Jestližeλ < 1, pak daná řada konverguje.
• Jestližeλ > 1, pak daná řada diverguje.
Také se tomu říká Cauchyho kritérium. Proč to tak funguje? Limitní výsledek říká, že pro opravdu velká k v zásadě máme
Zde to není tak jasné jako u odmocninového kritéria. Pro jednoduchost předpokládejme, že ona aproximace v limitě funguje pro všechna k, ne jen pro ta velká, a pak můžeme udělat toto:
Všimněte si, že zase případ lambdy rovné 1 je nerozhodnutý. Zde ale může pomoci pokročilejší test, viz Raabeho kritérium v sekci Teorie - Testování konvergence - Další kritéria.
Příklad: Vyšetřete konvergenci řady .
Použijeme odmocninové kritérium.
(Pro limitu výrazu
Zkusíme tento závěr potvrdit nezávisle podílovým kritériem.
Protože
Všimněte si také, že ony dvě konstanty z odmocninového kritéria a podílového kritéria vyšly stejné. To je vždy pravda (pokud mohou být použity oba testy) a není to vůbec překvapující. Každý test v zásadě odpovídá na otázku "jaké geometrické řadě se podobá ta daná," a tatáž řada nemůže být podobná zároveň dvěma různým geometrickým řadám. Teoreticky je odmocninové kritérium "silnější" v následujícím smyslu: Jestliže limita pro λ konverguje, pak nutně také limita pro ϱ konverguje (a ke stejnému číslu). Takže teoreticky vzato, pokud zabere podílový test, pak můžeme vždy místo toho použít i odmocninový test. Na druhou stranu existují řady, u kterých limita pro ϱ konverguje, ale limita pro λ ne, a tak nelze použít podílové kritérium. Zde ovšem hovoříme o teoretické konvergenci, hledání limit v praxi může být něco jiného. Jsou případy, kdy je použití podílového kritéria snadné, ale limita v odmocninovém kritériu je opravdový zabiják.
Při používání odmocninového kritéria se často používá fakt, že k-tá odmocnina z k jde k 1. To se dá zobecnit následovně.
Fakt.
Uvažujme nenulový polynomp(x). Pak
Z praktického pohledu to znamená, že když je řada založená na polynomech, tak nám obvykle odmocninové a podílové kritérium nedají informaci o její konvergenci. S oběma kritérii si naopak velice dobře rozumí řady s výrazu jako 2k, jak už jsme viděli výše. Pro rady o nejlepší volbě testu viz Přehled metod - Testování konvergence.
Limitní verze obou testů, které jsme viděli výše, se snadno používají, ale nejsou nejsilnější možné. Jsou případy, kdy selžou ne kvůli výsledku 1, ale už než se k němu dostaneme. Víme, že ne každá posloupnost má limitu, takže se může stát, že dokonce ani nedostaneme žádné ró či lambdu. Ukážeme dva způsoby, jak to napravit.
Existuje obecnější pojem limity, takzvaná "limes
superior". Je známo, že každá posloupnost
Na druhou stranu, pouze první tvrzení - to o konvergenci - se dá v podílovém kritériu udělat pomocí limsup. Pořád je to ještě užitečné, ale už ne tak elegantní. Pro přesná tvrzení viz tato poznámka.
Asi nejelegantnější a zároveň nejobecnější verze těchto testů dávají přednost individuálnímu pohledu na jednotlivé členy, bez použití nějakého limitního pojmu.
Věta (odmocninové kritérium).
Uvažujme řadu∑ ak splňujícíak ≥ 0 pro všechna k.
• Jestliže existujeϱ < 1 a celé číslo N takové, že pro všechnak > N, pak daná řada konverguje.
• Jestliže pro nekonečně mnoho k, pak daná řada diverguje.
Jaký případ zůstává nerozhodnut? Když jsou výrazy
Věta (podílové kritérium).
Uvažujme řadu∑ ak splňujícíak > 0 pro všechna k.
• Jestliže existujeλ < 1 a celé číslo N takové, že pro všechnak > N, pak daná řada konverguje.
• Jestliže existuje celé číslo N takové, že pro všechnak > N, pak daná řada diverguje.
Pokud vás zajímá vztah mezi tímto "nerovnostním" přístupem a "limsup" přístupem, podívejte se na tuto poznámku.
Pro další informace viz Odmocninové kritérium a Podílové kritérium v části Přehled metod - Testování konvergence a také Řešené příklady - Testování konvergence. Jmenovitě, typická použití odmocninového kritéria se najdou v tomto příkladě, tomto příkladě, tomto příkladě a tomto příkladě, podívejte se také na tento příklad. Pro podílové kritérium se podívejte na tento příklad, tento příklad, tento příklad, tento příklad a tento příklad, zkuste také tento příklad.
Poznámka o obecných řadách:
Jestliže daná řada
Jestliže
Je snadné ukázat, že jestliže