Matematická analýza 1 B0B01MA1 --- letní semestr 2026
Osnovu předmětu naleznete zde .
Přečtěte si požadavky na zápočet a zkoušku.
Na této stránce naleznete výtahy z přednášek, náměty jednotlivých týdnů cvičení, doporučenou literaturu, sbírky příkladů, odkazy na další možnou literaturu a videa týkající se předmětu a (velmi neúplný) seznam předmětů na FEL, kde znalosti matematické analýzy využijete.
Pokud hledáte radu, jak studovat, podívejte se sem.
Výtah z přednášek:
Pozor! Nejde o úplné studijní materiály. Těmi jsou především Vaše zápisky z přednášek a doporučená literatura. Dále jimi jsou skripta, knihy, atd, z ověřených zdrojů (krátký seznam je zde). Nevěřte anonymním zdrojům; mohou být dobré, mohou ale obsahovat závažné chyby.Níže vystavené výtahy z přednášek budu promítat na přednáškách. Budu ovšem i používat tabuli, na kterou budu psát důkazy, malovat obrázky, počítat příklady, atd. Doporučuji na přednášky chodit, před přednáškou si výtah přednášky vytisknout nebo stáhnout, a během přednášky si dělat poznámky.
Níže uvedená témata nepopisují semestr po týdnech. Přednáška poběží někdy rychleji nebo pomaleji, budu o tom informovat mailem.
Výtahy z přednášek jako jeden soubor.
- 1A:. Uvedení do analýzy
Klíčová slova: poset, suprema, infima, množina přirozených čísel, operace s přirozenými čísly, uspořádání přirozených čísel, rozšířená přirozená čísla
Keywords: poset, suprema, infima, the set of natural numbers, operations on natural numbers, order of natural numbers, extended natural numbers. - 1B: Celá, racionální a hlavně reálná čísla.
Klíčová slova: celá a racionální čísla (operace a uspořádání), rozšířená celá rozšířená racionální čísla, iracionalita odmocniny ze 2, Dedekindovy řezy a množina reálných čísel, věta o supremu, nerovnosti a absolutní hodnota, Archimedova vlastnost, rozšířená reálná čísla
Keywords: integers and rationals (operations and order), extended integers, extended rationals, irrationality of the square root of 2, Dedekind cuts and the set of reals, least upper bound property, inequalities and absolute value, Archimedean property, extended real numbers. - 2A: Limita ve směru.
Klíčová slova: kolekce otevřených okolí bodu, směr, základní příklady směrů, (vlastní/nevlastní) limita ve směru, jednoznačnost limity ve směru.
Keywords: collection of open neighbourhoods of a point, direction, basic examples of directions, limit in a direction, uniqueness of a limit in a direction. - 2B: Praktický výpočet limit.
Klíčová slova: rovnosti a nerovnosti ve směru, znaménko limity a znaménko ve směru, The Squeeze Theorem, aritmetika limit.
Keywords: equalities and inequalities in a direction, sign of a limit and sign in a direction, The Squeeze Theorem, arithmetics of limits. - 3A: Spojitost funkce.
Klíčová slova: spojitost (zprava/zleva) v bodě, aritmetika spojitosti, spojitost složené funkce, Heineho věta, The Creeping Theorem, spojité funkce na omezeném uzavřeném intervalu (věta o mezihodnotě, věta o omezenosti, věta o maximech a minimech, věta o spojitém obrazu intervalu), metoda půlení intervalu, jednoduchá věta o pevném bodě.
Keywords: continuity (from the left/from the right) in a point, arithmetics of continuity, continuity of a composite function, Heine's Theorem, The Creeping Theorem, continuous functions on a bounded closed interval (Intermediate Value Theorem, Boundedness Theorem, Extreme Value Theorem, Continuous Image of an Interval Theorem), Bisection Method, a simple fixed point theorem. - 3B: Derivace funkce v bodě.
Klíčová slova: derivace (zprava/zleva) v bodě, Carathéodoryho trik, aritmetika derivací, derivace složené funkce (The Chain Rule), derivace inversní funkce, derivace vyšších řádů.
Keywords: derivative (from the left/from the right) in a point, Carathéodory's trick, arithmetics of derivatives, derivatives of composite functions (The Chain Rule), derivatives of inverse functions, derivatives of a higher order. - 4A: Složitější věty o derivacích.
Klíčová slova: tři věty o střední hodnotě (Rolle, Lagrange, Cauchy), de l'Hospitalovo pravidlo, Taylorův polynom
Keywords: three mean value theorems (Rolle, Lagrange, Cauchy),de l'Hospital's rule, Taylor's polynomial. - 4B: Derivace, monotonie a extrémy.
Klíčová slova: maxima a minima, kritické body, konvexita, konkavita, body inflexe.
Keywords: maxima and minima, critical points, convexity, concavity, infelxion (inflection) points. - 5A: Průběh funkce.
Klíčová slova: ukázky příkladů vyšetřování průběhu funkce.
Keywords: examples of curve sketching. - 5B: Gradient descent.
Klíčová slova: základní myšlenka strojového učení, gradient descent pro jednu proměnnou, velmi hrubý pohled na backpropagation.
Keywords: basic ideas of Machine Learning, gradient descent in one variable, a very rough view of backpropagation. - 6A: Axiomatické zavedení integrálu.
Klíčová slova: omezenost a aditivita určitého integrálu, derivace integrálu jako funkce horní meze, primitivní funkce, existence a jednoznačnost určitého integrálu spojité funkce, konstrukce integrálu (Riemann, Darboux), Fundamentální věta kalkulu.
Keywords: boundedness and additivity of definite integral, the derivative of an integral as a function of the upper limit, the existence and the uniqueness of a definite integral, the construction of the integral (Rimann, Darboux), The Fundamental Theorem of Calculus. - 6B: Praktický výpočet integrálu: část 1.
Klíčová slova: výpočet pomocí primitivní funkce, linearita integrálu, metoda per partes, věta o substituci.
Keywords: computation using antiderivatives, the linearity of integral, integration per partes, substitution theorem. - 7A: Praktický výpočet integrálu: část 2.
Klíčová slova: ukázky typických výpočtů určitého integrálu.
Keywords: typical evaluations of definite integrals. - 7B: Nevlastní integrál.
Klíčová slova: určitý integrál funkcí spojitých na otevřeném omezeném intervalu, spojitých na neomezeném intervalu a funkcí, které nejsou spojité v konečně mnoha bodech.
Keywords: definite integral of functions continuous on an open bounded interval, continuous on an unbounded interval and functions discontinuous in finitely many points. - 8A: Geometrie, fyzika, pravděpodobnost a určitý integrál.
Klíčová slova: délka křivky, objem rotačního tělesa, plocha pláště rotačního tělesa, momenty, těžiště a střední hodnota náhodné veličiny.
Keywords: the length of a curve, the volume of a solid of revolution, moments, centre of mass, expected value of a random variable. - 8B: Sinus, kosinus, exponenciála a logaritmus.
Klíčová slova: zavedení funkcí sinus, kosinus, exponenciála a logaritmus pomocí určitých integrálů.
Keywords: the introduction of sine, cosine, exponentiation and logarithm via definite integrals. - 9A: Konvoluční filtry.
Klíčová slova: digitalisace a rekonstrukce signálu, klouzavé průměry a konvoluce, zoologická zahrada filtrů.
Keywords: digitalisation and signal reconstruction, moving averages and convolution, the ZOO of filters. - 9B: Prostory spojitých funkcí: část 1.
Klíčová slova: lineární prostory C^k([a;b]) a C^infty([a;b]), L^2 skalární součin, L^2 norma a L^infty norma.
Keywords: linear spaces C^k([a;b]) and C^infty([a;b]), L^2 scalar product, L^2 norm and L^infty norm. - 10A: Prostory spojitých funkcí: část 2.
Klíčová slova: vztah L^2 normy a L^infty normy, nejlepší aproximace vzhledem k normě.
Keywords: relationship between L^2 norm and L^infty norm, best approximation w.r.t. a norm. - 10B: Nekonečné číselné řady: část 1.
Klíčová slova: nekonečná řada, geometrická řada, teleskopická řada, nutná podmínka konvergence řady, řady s nezápornými členy, srovnávací test, srovnávací test v limitním tvaru, integrální test, testovací p-řady, harmonická řada.
Keywords: infinite series, geometric series, telescopic series, necessary condition for convergence of a series, series with non-negative terms, comparison test, comparison test in limit form, test p-series, harmonic series. - 11A: Nekonečné číselné řady: část 2.
Klíčová slova: D'Alembertův podílový test, Cauchyho odmocninový test, Cauchyho kondensační test, Leibnizův test, konvergence absolutní a neabsolutní.
Keywords: D'Alembert's ratio test, Cauchy's root test, Cauchy's condensation test, Leibniz' test, convergence absolute and non-absolute. - 11B: Nahlédnutí do teorie mocninných řad.
Klíčová slova: mocninná řada, poloměr konvergence, derivování a integrování mocninných řad.
Keywords: power series, radius of convergence, differentiation and integration of power series. - 12A: Prokrastinace, chladnutí kávy, neochota jít tancovat a Romeo a Julie.
Klíčová slova: úvod do modelování pomocí diferenciálních rovnic, prokrastinace pod hyperbolickým tlakem, Newtonův zákon ochlazování, model závaží na pružině, lineární soustava dvou diferenciálních rovnic.
Keywords: modelling with differential equations, an introduction, procrastination under a hyperbolic pressure, Newton's Law of Cooling, a spring-mass system, a linear system of two differential equations. - 12B: Lineární diferenciální rovnice 1. řádu.
Klíčová slova: lineární diferenciální rovnice 1. řádu s konstantními koeficienty, variace konstant, jednoduchá farmakokinetika, seskok padákem, lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty.
Keywords: first-order linear differential equations with constant coefficients, simple pharmacokinetics, parachute jump, higher-order linear differential equations with constant coefficients. - 13A: Soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu.
Klíčová slova: soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu s konstantními koeficienty, křivky a tečné vektory, fázový portrét, maticová exponenciála, tvar řešení.
Keywords: systems of first-order linear differential equations with constant coefficients, curves and their tangent vectors, phase portrait, matrix exponential, form of the solution. - 13B: Separovatelné diferenciální rovnice.
Klíčová slova: logistická rovnice (šíření drbů), separace proměnných, SIS a SIR modely šíření nákazy, problém sdílené lednice.
Keywords: logistic equation (gossip spreading), separation of variables, SIS and SIR models of infection spreading, the problem of the shared fridge.
Témata jednotlivých týdnů cvičení:
Témata jednotlivých cvičení jsou dána syllabem přednášek a budou upřesněna jednotlivými cvičícími.Doporučená literatura:
- Josef Tkadlec: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné.
- Brian S. Thomson, Judith B. Bruckner, Andrew M. Bruckner: Elementary real analysis.
- Leonard Gillman, Robert H. McDowell : Matematická analýza.
- Jiří Velebil: Abstraktní a konkrétní reálná analýza. V těchto skriptech naleznete všechnu odpřednesenou látku. (Na textu se pracuje, text bude během semestru tloustnout.)
Sbírky příkladů:
- Matthew Boelkins: Active calculus.
- Joel Feldman, Andrew Rechnitzer, Elyse Yeager: CLP-1 Differential calculus combined text with exercises.
- Joel Feldman, Andrew Rechnitzer, Elyse Yeager: CLP-2 Integral calculus combined text with exercises.
Vhodné učebnice matematické analýzy a další studijní texty:
- Celá řada textů, týkajících se důkazů. Vyberte si, který text vám vyhovuje (vhodné zvláště před zkouškou). Texty nesouvisí s matematickou analýzou, ale ujasní nejrůznější způsoby dokazování.
- Interaktivní učebnice analýzy od Paula Dawkinse z Lamar University.
- MathTutor od Petra Habaly. Je zaměřen především na praktické výpočty.
- Diferenciální počet I, klasika od Vojtěcha Jarníka. Poměrně náročná, ale podrobná učebnice.
- Integrální počet I, další klasika od Vojtěcha Jarníka. Poměrně náročná, ale podrobná učebnice.
Vhodná videa o matematické analýze:
- Po přihlášení do MOODLE FEL můžete využít videa pro B0B01MA1.
- Essence of calculus je soubor krátkých videí o derivacích a integrálu.
- Mathsters je soubor krátkých videí o množinách, matematické indukci, základních vlastnostech funkcí atd. Velmi vhodné pro osvěžení pojmů ze střední školy.