Příklad: Načrtněte průběh funkce

f (x) = 3x⁴ − 8x³ + 6x².

Řešení: Použijeme postup popsaný v sekci Přehled kreslení grafů v části Přehled metod - Průběh funkce.

Krok 1. Definiční obor této funkce je celá reálná osa, funkce je tam spojitá. Protože je to polynom se sudými i lichými mocninami, máme podezření, že není symetrická. Zkusíme jeden symetrický pár: Například f (1) = 1, zatímco f (−1) = 17, což vylučuje možnost, že by f byla sudá nebo lichá.

Průsečík s osou x:

3x⁴ − 8x³ + 6x² = 0   pokud   x²(3x² − 8x + 6) = 0   pokud   x = 0.

Je jen jeden průsečík f (0) = 0, což je také průsečík s osou y.

Krok 2. Najdeme limity v krajních bodech intervalů definičního oboru.

Asymptoty: Protože je funkce spojitá na celé reálné ose, nemohou být svislé asymptoty. Protože limity v plus a mínus nekonečnu divergují, nejsou tam vodorovné asymptoty, ale limity existují, a tak je šance na šikmé asymptoty. Použijeme příslušný algoritmus.

Limita pro A divergovala jak v nekonečnu tak v mínus nekonečnu, takže tam šikmé asymptoty nejsou.

Krok 3. Najdeme derivaci a použijeme ji k určení monotonie a lokálních extremů.

f ′(x) = 12x³ − 24x² + 12x = 12x(x² − 2x + 1) = 12x(x − 1)².

Kritické body: V definičním oboru nejsou body, kde by derivace neexistovala; derivace je nula v bodě x = 0 a v bodě x = 1. Definiční obor se tak rozdělí na tři intervaly monotonie, určíme ji pomocí tabulky; krajní body uzavřeme tam, kde je funkce spojitá.

Máme sousedící intervaly stejné monotonie, a protože je f spojitá v bodě jejich dotyku 1, tak víme, že se dají spojit. Závěr je, že f je klesající na (−∞,0⟩ a rostoucí na ⟨0,∞).

Lokální extrémy: Daná funkce má lokální minimum f (0) = 0. Bod f (1) = 1 není lokální extrém.

Krok 4. Najdeme druhou derivaci a použijeme ji k určení konvexity.

f ′′(x) = 36x² − 48x + 12 = 12(3x² − 4x + 1) = 12(3x − 1)(x − 1).

Dělící body: V definičním oboru nejsou body, kde by druhá derivace neexistovala; druhá derivace je nula pro x = 1/3 a x = 1. Definiční obor se tak rozdělí na tři intervaly konvexity, určíme ji pomocí tabulky; krajní body uzavřeme tam, kde je funkce spojitá.

Závěr je, že f je konvexní na (−∞,1/3⟩ a na ⟨1,∞); je konkávní na ⟨1/3,1⟩.

Inflexní body: f (1/3) = 11/27 a f (1) = 1.

Krok 5. Teď to dáme všechno dohromady. Nejprve načrtneme do obrázku všechny body a limitní trendy, které jsme našli. To bude kostra, na kterou pak funkci pověsíme.

Abychom si tvar grafu lépe představili, zkombinujeme ony dvě tabulky výše.

Teď jsme připraveni nakreslit průběh funkce. Abychom udělali náčrt věrnější, připomeneme si, že pro x = 1 máme vodorovnou tečnu (derivace byla nula).

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Průběh funkce