Příklad: Určete, zda následující řada konverguje.

Řešení: Členy této řady jsou kladné, takže máme k dispozici všechny ty báječné testy. Vzhledem k tvaru členů je nejevidentnější volbou odmocninové kritérium.

Bohužel, ϱ = 1 je přesně ten případ, kdy je odmocninový test neúspěšný. Mohli bychom zkusit podílové kritérium, ale nemá to smysl, protože víme, že λ by byla stejná jako ϱ výše, ta neurčitá hodnota 1. Každopádně by to byla nouzová volba, protože nutné výpočty jsou docela drsné.

Ano, bylo to hnusné a k ničemu.

Protože nevíme, jak integrovat daný výraz, integrální kritérium je také mimo. Což takhle srovnání? Jedno vidíme hned, nerovnost dostaneme snadno vypuštěním těch "1".

Testovací řada napravo je divergentní a větší, což je přesně situace, kdy srovnávací kritérium neumožní udělat žádný závěr.

Což takhle limitní srovnávací kritérium, které umožňuje implikace v obou směrech? Tady máme docela problém. Kdybychom měli jen zlomek, pak by šlo tvrdit, že přičtením či odečtením "1" pro velká k nic nezměníme a namísto nerovnosti výše bychom mohli tvrdit, že

Bohužel, intuitivní výpočet funguje jen pro zlomky, ne pro zlomky umocněné na mocninu k. Proč tomu tak je? Vynecháním těch "1" způsobíme jen malou změnu v porovnání s dominantními částmi zlomku, ale když se "něco plus trošička" umocní na nekonečno, tak náhle ta trošička může začít hrát velkou roli. Pořád to ale stojí za zkoušku. Je pravda, že a_k je přibližně 1?

Vidíme, že náš odhad byl opravdu špatný, členy vůbec nevypadají jako 1 pro velká k. Není to ale konec limitního srovnání, protože to nevyžaduje v zásadě rovnost, jen podobnost. Jinými slovy, formální požadavek limitního srovnávacího kritéria je přesně to, co jsme dostali, tedy že limita vyjde kladná. Takže limitní srovnání funguje. Ukazuje, že

a víme, že řada napravo diverguje. Důsledek tedy je, že daná řada diverguje.

Výpočet výše vlastně ukazuje, že limita a_k není nula, takže podle nutné podmínky konvergence je daná řada divergentní. Toto je asi nejkratší řešení, prostě se najde limita a_k a protože není nula, řada je divergentní.

Proč jsme tedy s tímto testem rovnou nezačali? Protože v 99 případech ze 100 vyjde jako neprůkazný, takže když to není vidět na první pohled (náš případ), nevyplácí se s tím ztrácet čas a je lepší zkusit nejdřív něco jiného. V tomto příkladě to zrovna nevyšlo.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Testování konvergence