Příklad: Vyšetřete konvergenci následující řady. (Konverguje? Pokud ano, jak?)
Řešení: Všimněte si, že všechny členy řady jsou kladné, takže je u ní konvergence a absolutní konvergence totéž. Zbývá tedy otestovat konvergenci a pro řadu s kladnými členy máme všechny ty báječné testy.
Protože se členy řady skládají z mocnin, přirozeným kandidátem by mělo být podílové kritérium. Kvůli podvojné podstatě členů se podíváme, co odpovídající podíly dělají pro sudá a lichá k. Pomocí l'Hôpitalova pravidla dostaneme
Vidíme, že se posloupnost
Což takhle odmocninové kritérium? Nejprve se zase podíváme, co dělají sudé a liché členy.
Zase tedy nemáme limitu. Tentokráte je limes superior konečné, ale je to 1 a
tudíž to nepomůže. Což takhle obecná verze s nerovnostmi? Všimněte si, že
všechny členy
Jaký další test by mohl pomoci? Protože členy nejsou dány jedním vzorcem, integrální kritérium je mimo hru. Naše jediná naděje teď spočívá v nějakém srovnání. Výsledky výše naznačují, že limitní srovnání není možné, protože sudé a liché členy se chovají zcela rozdílnými způsoby; škála mocnin ukazuje, že sudé členy jdou k nule neporovnatelně rychleji než liché členy.
Jedinou nadějí je tedy srovnání. Poslední věta předchozího odstavce už naznačuje jednu možnost. Je relativně snadné ukázat, že pro k alespoň 5 je 2k větší než k2 (nebo se odvoláme na již zmíněnou škálu mocnin a usoudíme, že taková nerovnost musí platit pro velká k), proto dostaneme srovnání
Protože řada napravo konverguje (viz p-test nebo Příklad tamtéž, tato řada je velmi známá), vyplývá z toho, že také daná řada konverguje, proto také konverguje absolutně.
Alternativa: Je tu ještě jiný zajímavý trik, který by se dal zkusit.
Daná řada má členy dvou typů, proto je můžeme rozdělit do dvou samostatných
řad. Vyjádříme ji tedy jako součet
Co se dá říct o konvergenci těchto dvou řad? Na první pohled jsme si moc nepomohli, zase jsou obě takové dvojité, jenže - a to je právě ta finta - nuly se dají z řady bez problémů vypustit. Řady je tedy možno přepsat pomocí obvyklých výrazů pro sudá a lichá čísla následovně.
Vidíme, že první řada je
geometrická řada s
Součet dvou konvergentních řad zase konverguje, čímž jsme potvrdili konvergenci dané řady.
Další příklad
Zpět na Řešené příklady -
Testování konvergence