Příklad: Vyšetřete konvergenci následující řady. (Konverguje? Pokud ano, jak?)
Řešení: Máme se podívat na konvergenci dané řady a také její absolutní
konvergenci. Začneme tím prvním. Co víme o členech řady? Čísla
1 + 0 − 1 + 0 + 1 + 0 − 1 + ...
jsou jen 0 a 1. Toto dokazuje, že daná řada je konvergentní.
Mohli bychom také použít Fakt formulovaný tamtéž, který se dívá na Dirichletovo kritérum jako na zobecnění Leibnizova kritéria a platí pro řady s pravidelným vzorem znamének, jejichž součet přes jednu periodu je nula - přesně naše situace.
Dá se konvergence nějak odvodit bez použití pokročilejších testů, jen s těmi základními, které zná každý student kalkulu? Ano, je. Když se na danou řadu podíváme pořádně, tak zjistíme, že je to vlastně alternující řada, jen si musíme všimnout, že všechny členy s k lichým jsou nulové, takže je lze vypustit a řadu příslušným způsobem přeindexovat.
Teď vidíme, že řada je vlastně opravdu alternující, takže použijeme Leibnizovo
kritérium s
Teď se podíváme na absolutní konvergenci. Chceme zkoumat konvergenci řady
Její členy jsou všechny nezáporné, ale kosinus nevypadá příliš přítulně.
Absolutní hodnota vylučuje integrování, takže od
integrálního kritéria nic
nečekejme. Protože posloupnost
Máme pěkné srovnání a o řadě napravo víme, že konverguje, například podle p-testu. Máme tedy závěr, že řada nalevo je také konvergentní.
Závěr: Daná řada je absolutně konvergentní.
Poznámka: Protože absolutní konvergence implikuje konvergenci, mohli jsme si ušetřit práci, kdybychom začali rovnou absolutní konvergencí.
Poznamenejme, že protože čitatel s kosinem nemá limitu, tak se nemá smysl ptát, jak to vypadá pro velká k. Pro tuto řadu tedy nelze použít limitní srovnávací kritérium. Máme zde příklad řady, pro kterou srovnání funguje, ale limitní srovnání ne.
Poznámka: Všimněte si, že když použijeme naše alternativní vyjádření pro danou řadu, pak se naše situace se zkoumáním absolutní konvergence podstatně zjednoduší.
Teď můžeme použít všechny testy, ale některé nepomůžou. Víme, že pro řady s racionálními lomenými funkcemi je nejlepší přístup přes srovnání, většinou jeho limitní verze. V tomto případě jsou možná obě srovnání a vedou na správnou odpověď.
Protože je funkce
Na druhou stranu, víme že řady s racionálními lomenými funkcemi se nedají řešit přes odmocninové kritérium nebo podílové kritérium, protože dostaneme neurčitý výsledek. A opravdu,
Další příklad
Zpět na Řešené příklady -
Testování konvergence