Příklad: Aproximujte součet řady
pomocí jejího částečného součtu s20 a odhadněte chybu této aproximace.
Řešení: Snadno se ukáže pomocí například podílového kritéria nebo odmocninového kritéria, že daná řada konverguje (prakticky identický příklad lze nalézt v sekci Odmocninové a podílové kritérium v části Teorie - Testování konvergence), takže otázka má smysl.
Moje kalkulačka říká, že
Chyba aproximace je
K odhadu zbytku řady se hned
nabízí použít
integrální kritérium. Pomocí
derivace snadno dokážeme, že funkce
Máme tedy
Alternativa: Onen odhad pomocí integrálu výše je velice citlivý, i malá změna v řadě vyrobí funkci, u které nebudeme moci doufat, že ji zintegrujeme. Obecně proto děláme něco jiného: Hledáme horní odhad dané řady řadou jinou, která by byla podobná, konvergentní a kterou bychom nějak dokázali sečíst či její součet snadno odhadnout (například i pomocí integrálu). Jaký odhad můžeme použít pro naši danou řadu?
U typické řady jsou často ve členech části, které lze pro velké hodnoty
k ignorovat (viz
intuitivní výpočet
v části Posloupnosti - Teorie - Limita), to nám pak napoví při hledání
dobrého horního odhadu. Zde tomu tak ale není, takže to bude chtít více
tvůrčí přístup. Jednu řadu známe dobře, jmenovitě
geometrickou řadu. Abychom
dostali odhad dané řady shora pomocí geometrické řady, potřebovali bychom
takový odhad pro k. Ale protože výrazy qk
rostou rychleji než k pro
Tak například pro
Jsme tedy oprávněni odhadovat
Je to o něco horší než ten předchozí odhad, ale není to tak špatné a na
rozdíl od té metody výše, která je tak citlivá na integraci, tahle má dobrou
šanci uspět, když vám někdo prostě předhodí řadu. Kvalita odhadu se dá vylepšit
tím, že utáhneme horní mez, tedy použijeme číslo menší než 1.5. Trocha
experimentování ukáže, že také
To už je skoro tak dobré, jako ten první odhad. Ověřte, že když použijete
1.17 namísto 1.2, tak ten odhad chyby stáhnete na