Příklad: Vyšetřete konvergenci následující řady. (Konverguje? Pokud ano, jak?)
Řešení: Máme se podívat na konvergenci dané řady a také její absolutní
konvergenci. Začneme tím prvním. Co se dá říct o členech této řady? Je
známo, že
Zde v Math Tutoru jsme zašli trochu dále, některé pokročilejší kursy také
zmiňují méně populární ale mocnější testy, mimo jiné jsme tu představili
Dirichletovo kritérium. Dá se
použít v naší situaci? Čísla
Toje vlastně dobrá otázka. Už jsme připomínali, že obvykle máme tři kladná a pak tři záporná a pak tři kladná čísla a tak pořád dále, občas přijdou čtyři stejná znaménka, zdá se tedy možné, že by se pořád nějak krátily. A to je také pravda, ale dokázat to je něco jiného. Relativně lehké odvození se dá udělat pomocí komplexních čísel a pár známých vzorců, mimo jiné vzorce pro částečné součty geometrické řady.
Ukázali jsme, že částečné součty jsou omezeny společnou konstantou, proto daná řada splňuje předpoklady Dirichletova kritéria a jako taková je konvergentní.
Mimochodem, to číslo ve jmenovateli je
Některé lidi ta komplexní čísla mohou odradit a naskýtá se přirozená otázka:
Vzhledem k tomu, že náš příklad nemá nic společného s komplexními čísly, je
nějaký způsob, jak dokázat omezenost jen pomocí reálných čísel? Vlastně je,
ale je přinejmenším tak triková jako ten přístup přes komplexní čísla. Začíná
následujícím pozorováním. Jednu konkrétní
goniometrickou
identitu lze použít k vyjádření
Proč bychom něco takového chtěli? Všimněte si, že jsme
Uf. Nějaký pěkný důkaz neznám. Mimochodem, dostali jsme stejnou horní mez jako u komplexního přístupu.
Teď se podíváme na absolutní konvergenci dané řady. Máme rozhodnout o konvergenci řady
Jaký test nám pomůže? Ten sinus naznačuje, že bychom měli použít srovnání. Dostaneme
Bohužel, ta řada napravo je
harmonická řada, jejíž
divergence je všeobecně známá, například podle
p-testu. Toto
srovnání tedy vůbec nepomůže. Připomeňme, že sinus v absolutní hodnotě
nabývá hodnot z celého rozmezí
Protože
Nedostatek konvergence sinové části také vylučuje limitní verze odmocninového kritéria a podílového kritéria. Protože je jasné, že sinus v absolutní hodnotě neumíme integrovat, (a příslušná funkce stejně není nerostoucí), nemůžeme použít ani integrální kritérium a právě nám došly testy. Rozhodně se tedy vyplatí vrátit se k odmocninovému kritériu a podílovému kritériu a popřemýšlet nad jejich obecnějšími verzemi s nerovnostmi.
Za zkušenosti víme, že k ve jmenovateli vůbec nepomůže, protože v obou testech dává 1. To vidíme, když se pokusíme o limitní verze.
Pokud tedy chceme dokázat nějakou nerovnost, musíme na to použít tu sinovou
část. A zde jsme totálně v háji, sinová část není nikdy víc než 1, takže
nedokážeme dostat divergenci v odmocninovém kritériu. Na druhou stranu je
někdy
Do podobného průšvihu vletíme také s podílovým kritériem. Podíl
Právě nám došly testy, které lidé běžně znají, a dokonce ani méně populární testy ze sekce Další kritéria v části Teorie - Testování konvergence nepomohou.
Jsme nuceni přiznat, že testy, které známe, a standardní postupy nejsou dost dobré na rozhodnutí konvergence této řady; to znamená, že zatím nevíme, zda daná řada konverguje absolutně.
Poznamenejme, že kdybychom neměli Dirichletovo kritérium, tak o dané řadě nevíme vůbec nic. Lebnizův test jsme nemohli použít; v takovém případě obvykle přejdeme na absolutní konvergenci, ale zde jsme také narazili. Nástroje, které se tradičně probírají, jsou tedy u tohoto příklady bezmocné. Konvergence se ovšem určit dá, je na to třeba se blíže podívat na danou řadu.
Je to v zásadě
harmonická řada, jejíž
členy byly modifikovány. Co se s nimi děje? Víme, že pro nekonečně mnoho
k jsou čísla
Dobrým začátkem je pozorování, že pro každou malou hodnotu
Existují přinejmenším dva způsoby, jak to udělat, dvě možnosti, jak dostat
něco hmatatelnějšího. Jedna možnost je všimnout si, že pár k,
Zdá se, že alespoň jeden konec vždycky dá v sinu velkou hodnotu, někdy oba.
Protože nevíme, který konec je ten velký, nejlepší způsob, jak to vyjádřit,
je prostě mluvit o součtu těchto hodnot. Tvrdíme, že existuje určité kladné
číslo a takové, že součet
Když máme toto dokázáno, můžeme ukázat, že naše řada diverguje. Nejprve její členy sloučíme do dvojic.
Protože jsou všechny členy kladné, je možné použít asociativní zákon (to není až tak jasné, jak se zdá, viz Základní vlastnosti v části Teorie - Úvod). Konvergence řady nalevo je tedy ekvivalentní konvergenci nové řady napravo. Tam ale můžeme použít srovnání.
Toto dokazuje, že je řada nalevo divergentní, čili řada s absolutními
hodnotami je divergentní, proto daná řada není absolutně konvergentní.
Závěr: Daná řada konverguje neabsolutně.
Alternativa: Když jsme si představovali, co se děje s grafem sinu,
tak jsme si mohli všimnout také tohoto: Když si vezmeme tři po sobě jdoucí
celá čísla, tak alespoň v jednom z nich je
Když máme tohle dokázáno, postupujeme podobně jako předtím. Nejprve spojíme členy řady do trojic.
Teď se podíváme na jednu takovou trojici, pro zjednodušení si nahoru dáme
nějaké kladné konstanty a díky našemu pozorování víme, že alespoň jedna z
nich je větší než
Když toto aplikujeme na rozklad naší řady do trojic, dostaneme
Toto potvrzuje divergenci naší řady.
Takže jsme nakonec vyhráli, ale byla to tvrdá práce. Poznamenejme, že jsou řady, které porazí i ty nejpokročilejší metody a triky, například konvergence či divergence následující řady - ačkoliv je docela pěkná - není stále známa.
(Alespoň nebyla v roce 2004, když jsem se díval naposledy, takže i kdyby to už nebyla pravda, pořád to ukazuje, že i jednoduchá řada jako tato dokáže několik století odolat útokům všech možných testů konvergence a triků.)