Příklad: Vyšetřete konvergenci následující řady. (Konverguje? Pokud ano, jak?)
Řešení: Máme se podívat na konvergenci dané řady a také na její
absolutní konvergenci. Začneme tím prvním. Daná řada vypadá jako
alternující, ale abychom
to potvrdili, musíme ověřit, že ta logaritmická část je vždy kladná. To je
snadné, pro kladná celá čísla k je argument
Máme tedy opravdu alternující řadu a můžeme zkusit Leibnizovo kritérium. Čísla
bk = ln(1 + 1/k)
tvoří klesající posloupnost kladných čísel, která jde k nule. Podle Leibnize daná řada konverguje.
Teď se podíváme na absolutní konvergenci. Víme, že logaritmus je kladný, takže
Začneme podílovým kritériem.
Máme
Jaký jiný test by mohl pomoci? Mohli bychom zkusit
integrální kritérium, protože
funkce
Teď přejdeme na příslušný nevlastní integrál. V limitě bude neurčitý součin, vypořádáme se s ním standardním způsobem.
Protože integrál diverguje, také řada, kterou zkoumáme, musí divergovat, tudíž daná řada nekonverguje absolutně.
Zjistili jsme, že řada samotná konverguje, ale není absolutně konvergentní.
Závěr: Daná řada je neabsolutně konvergentní.
Vrátíme se k řadě s absolutními hodnotami a pro úplnost se podíváme na
srovnávací kritéria. Jediný
evidentní odhad logaritmu je konstantou shora, řekněme
Snažší otázka zní: Když je x kladné a velmi malé, jak vypadá
Když to aplikujeme na náš případ, dostaneme limitní srovnání, které je třeba ověřit.
Náš odhad je potvrzen, máme tedy také
Toto potvrzuje, že daná řada není absolutně konvergentní. Mimochodem, ta řada napravo je harmonická řada, jejíž divergence je široce známa, například podle p-testu.
Další příklad
Zpět na Řešené příklady -
Testování konvergence