Příklad: Určete, zda následující řada konverguje.

Řešení: Členy této řady jsou kladné, takže můžeme použít všechny ty báječné testy. Protože výraz v řadě bychom rozhodně nechtěli integrovat, integrální kritérium je mimo. Co další testy? Protože exponenciály přebijí mocniny, členy této řady jdou k nule, takže řada konvergovat může a nemusí - nutná podmínka zde nepomůže.

Členy této řady se skládají z mocnin a exponenciál, což je obvykle jasné znamení, že odmocninové nebo podílové kritérium může pomoci. Protože dělat k-tou odmocninu z daného výrazu nevypadá moc příjemně, zkusíme podílové kritérium. Při zpracování zlomku v testu použijeme populární trik s tím, že necháme na sebe působit podobné výrazy.

K nalezení limity jsme vytknuli dominantní členy, což je standardní postup pro limity s podíly mocnin a podobnými členy, viz příslušný šuplík v části Posloupnosti - Přehled metod - Limita.

Protože λ < 1, daná řada konverguje.

Alternativa: Co se stane, když použijeme odmocninové kritérium? Víme, že k-tá odmocnina z polynomu jde k 1, což vyřeší čitatel. Ve jmenovateli je to trochu horší, protože (3^k + 1)^1/k v nekonečnu dává neurčitý výraz ∞⁰. Jedna možnost je použít standardní postup ze šuplíku neurčitá mocnina v části Posloupnosti - Přehled metod - Limita, tedy změnit to na tvar "e na ln". Snažší alternativa je odhadnout, že to "+ 1" nic neovlivní, což se nejlépe dokáže vytknutím dominantního členu.

Protože ϱ < 1, daná řada konverguje.

Alternativa: Kdyby tam nebyly ty části "+ k" a "+ 1", bylo by odmocninové kritérium velmi snadné. Intuitivní výpočet nám říká, že ty dvě části pro velká k nic neovlivní, což nás přivádí přímo k limitnímu srovnávacímu kritériu. Nejprve musíme dokázat, že se ty dvě části dají opravdu ignorovat, výpočtem příslušné limity.

Dostali jsme kladné číslo, takže členy jsou opravdu srovnatelné (dostali jsme vlastně 1, což říká, že pro velká k jsou ty dva členy v zásadě stejné). Proto také

Jelikož řada napravo konverguje (použijte odmocninové kritérium), také řada nalevo konverguje.

Dalo by se použít obyčejné srovnání? K důkazu konvergence potřebujeme horní odhad. Jmenovatel zde pomůže, protože tam ignorováním části "+1" dostaneme něco menšího a tak máme jednodušší horní odhad pro celý zlomek. Zjednodušení čitatele je ovšem méně zjevné. Pokud tam odděláme tu část "+ k", bude výsledný výraz menší, což je přesně opak toho, co potřebujeme. Naštěstí můžeme použít malý trik, neboť přirozená čísla k můžeme omezit shora výrazem k².

Protože větší řada napravo konverguje, musí i menší daná řada.

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Testování konvergence