Příklad: Najděte součet řady
Řešení: Tato řada nevypadá jako něco, co lze přepsat jako geometrickou řadu. Rozhodně také nepochází z nějaké známé nebo jednoduché mocninné řady - už proto, že se v ní nevyskytují členy typu ck, takže jediná možná mocninná řada, ze které by naše řada mohla vyjít, by musela mít ten komplikovaný zlomek s odmocninami jako koeficient ak a 1 by se dosazovala do xk. Upřímně řečeno, nevidím způsob, jak se vypořádat s takovou příšernou mocninnou řadou.
Zbývají tedy dvě možnosti. Buď z toho nějak vyrobíme teleskopickou řadu, nebo ukážeme, že diverguje, čímž se vyhneme nutnosti ji sčítat. Na první pohled ten teleskopický přístup nevypadá moc příjemně, tak se zkusíme podívat na konvergenci. Všechny členy řady jsou kladné (ověřte), takže máme k dispozici spoustu testů. Rozhodně dané členy nechceme integrovat, takže integrální kritérium je mimo hru, a také představa, že hledáme limitu k-té odmocniny z členů zní šíleně, takže je i odmocninové kritérium mimo. Podílové také nevypadá příliš dobře, zbývá tedy srovnání. To není žádný překvapovák, protože máme zlomek s polynomy a odmocninami, přesně ten pravý typ pro srovnání. Jak jednotlivé členy vypadají pro k blízké nekonečnu? Zde máme problém, protože se v čitateli dominantní člen k objevuje dvakrát a odčítá se, což je přesně situace, kdy intuitivní výpočet nefunguje. V takovém případě se musíme zbavit odmocnin v čitateli algebraicky.
Vidíme, že pro velké k členy řady vypadají v zásadě jako
Zbývá poslední naděje, potřebujeme přepsat řadu tak, aby měla formu příslušnou teleskopické řadě. Tvar zlomku naznačuje, že bychom jej měli být schopni napsat jako rozdíl, ale potřebujeme zapsat ty dvě vzniklé části tak, aby pocházely ze stejného vzorce, jen s jiným k. Zkusíme to:
Dostali jsme teleskopickou řadu, takže aplikujeme příslušný postup, jmenovitě se podíváme na její částečné součty.
Protože částečné součty konvergují, můžeme prohlásit, že