Příklad: Určete, zda následující řada konverguje.
Řešení: Pro kladná celá čísla k je podíl
U téhle řady nevidíme, kudy na ni. Integrace nevypadá snadno, počítat k-tou odmocninu ze sinu také ne, a nejsou tam žádné části, které bychom mohli ignorovat pro srovnání. Kde tedy začneme? Obvykle míváme dobré výsledky s odmocninovým kritériem. Dá se čekat, že sinová část bude působit potíže, jmenovitě vede na neurčitou mocninu. Dá se s tím vyrovnat například takto:
Takže po celé té namáhavé práci máme neurčitý výsledek
To vlastně vypadalo trochu snadněji. Vzhledem k tomu, že ani tyto dva testy
nepomohly, co se dá ještě zkusit? Představa, že daný výraz integrujeme,
nezní lákavě, ale pomalu už začínáme být zoufalí a sinus a mocniny nakonec
nejsou tak děsné. Můžeme použít
integrální kritérium? Ano,
protože funkce
Zbývají
srovnávací kritéria. Žádnou část
výrazu nelze pro velká k ignorovat, ale možná by šel nějaký odhad,
sinus má přirozenou horní mez. Pro přirozená čísla k máme, že
Máme divergentní řadu napravo (je to ta slavná harmonická řada nebo použijte p-test) a daná řada je menší, což je přesně situace, kdy srovnání nepomůže.
Dá se ještě neco dělat? Z našich testů jsme nezkusili limitní srovnání. Moc
to na něj nevyp;adá, ale začínáme být zoufalí. Co víme o
členech ak, když se k stane opravdu velkým?
Pak je
Limitní srovnávací kritérium samozřejmě vyžaduje, že náš odhad ověříme, zvlášť když není zrovna tradiční.
Náš odhad byl správný a můžeme pokračovat se srovnáním.
Protože testovací řada napravo konverguje (viz p-test), platí to i pro řadu nalevo. >
Závěr: Daná řada konverguje.
Stejný závěr lze udělat pomocí obyčejného srovnávacího kritéria, ale je na
to třeba poněkud zlepšit náš předchozí odhad, ten byl moc velkorysý. Víme,
že pro všechna kladná y máme
a závěr vyplývá z faktu, že větší testovací řada konverguje.
Poznámka. Zde se podíváme blíže na ten integrál z integrálního kritéria. Nejprve si všimněte, že
Je dobře známo, že funkce napravo nemá primitivní funkci, kterou by šlo vyjádřit pomocí elementárních funkcí a operací. Zatímco pro "klasickou" integraci tohle znamená konec, můžeme se na to zkusit podívat s využitím mocninných řad. Pomocí standardního rozvoje pro sinus dostaneme
Integrál a sumaci ovšem můžeme prohodit jen na množinách, kde řada
konverguje stejnoměrně, viz
Řady funkcí v části Teorie
- Řady funkcí. Naštěstí pro nás zde máme stejnoměrnou konvergenci na
intervalu
Výsledná řada konverguje, což se snadno ukáže pomocí Leibnizova kritéria. Takže i integrální kritérium potvrzuje, že daná řada konverguje, ale byla s tím spousta starostí, přístup přes srovnání je rozhodně lepší.
Další příklad
Zpět na Řešené příklady -
Testování konvergence