Lineární algebra B6B01LAG --- letní semestr 2024

 

Osnovu předmětu naleznete zde .

Přečtěte si požadavky na zápočet a zkoušku.

Na této stránce naleznete výtahy z přednášek, náměty jednotlivých týdnů cvičení, doporučenou literaturu, sbírky příkladů, odkazy na další možnou literaturu a videa týkající se předmětu a (velmi neúplný) seznam předmětů na FEL, kde znalosti lineární algebry využijete.

Pokud hledáte radu, jak studovat, podívejte se sem.

Výtah z přednášek:

Pozor! Nejde o úplné studijní materiály. Těmi jsou především Vaše zápisky z přednášek a doporučená literatura. Dále jimi jsou skripta, knihy, atd, z ověřených zdrojů (krátký seznam je zde). Nevěřte anonymním zdrojům; mohou být dobré, mohou ale obsahovat závažné chyby.

Níže vystavené výtahy z přednášek budu promítat na přednáškách. Budu ovšem i používat tabuli, na kterou budu psát důkazy, malovat obrázky, počítat příklady, atd. Doporučuji na přednášky chodit, před přednáškou si výtah přednášky vytisknout nebo stáhnout, a během přednášky si dělat poznámky.

Níže uvedená data probírané látky se budu snažit dodržovat. Poběží-li přednáška někdy rychleji nebo pomaleji, budu o tom informovat mailem.

Výtahy z přednášek jako jeden soubor.

• 1A:. Lineární prostory nad R
  Klíčová slova: lineární prostor (nad reálnými čísly), (nulový) vektor, skalár, seznam vektorů, lineární kombinace.
  Keywords: linear (vector) space (over reals), (zero) vector, scalar, list of vectors, linear combination.
• 1B: Lineární prostory nad F.
  Klíčová slova: těleso, lineární prostor (nad tělesem), (nulový) vektor, skalár, seznam vektorů, lineární kombinace.
  Keywords: field, linear (vector) space (over over a field), (zero) vector, scalar, list of vectors, linear combination.
• 2A: Lineární obal a lineární podprostor.
  Klíčová slova: lineární obal, uzávěrové vlastnosti lineárního obalu, lineární podprostor.
  Keywords: linear span of a set (linear hull), closure properties of a linear span (of a linear hull), linear subspace.
• 2B: Lineární závislost a nezávislost.
  Klíčová slova: (triviální/netriviální) lineární kombinace, lineární závislost/nezávislost.
  Keywords: (trivial/nontrivial) linear combination, linear dependence/independence.
• 3A: Báze a dimenze.
  Klíčová slova: množina generátorů, báze, konečná množina, dimense, spojení podprostorů.
  Keywords: spanning set, basis, finite set, dimension, sum (join) of subspaces.
• 3B: Souřadnice vzhledem k uspořádané bázi a komutativní diagramy.
  Klíčová slova: souřadnice, kanonická (standardní) báze, zobrazení, komutativní čverec.
  Keywords: coordinates, canonical (standard/natural) basis, mapping, commutative square.
• 4A: Lineární zobrazení.
  Klíčová slova: lineární zobrazení, princip superposice, lineární prostor lineárních zobrazení, matice, projekce, rotace, maticový zápis soustavy lineárních rovnic.
  Keywords: linear mapping, superposition principle, linear space of linear mappings, matrix, projection, rotation, matrix form of a system of linear equations.
• 4B: Algebra matic.
  Klíčová slova: sčítání a násobení matic.
  Keywords: matrix addition and matrix multiplication.
• 5A: Lineární zobrazení, část 2.
  Klíčová slova: monomorfismus, epimorfismus, isomorfismus, jádro, obraz, defekt, hodnost, matice lineárního zobrazení, regulární (invertibilní) matice.
  Keywords: monomorphism, epimorphism, isomorphism, kernel, image, defect, rank, matrix of a linear mapping, regular (invertible) matrix.
• 5B: Transformace souřadnic.
  Klíčová slova: transformace souřadnic v jedné bázi na souřadnice v jiné bázi, podobné matice.
  Keywords: transformation of coordinates in one basis to coordinates in another basis, similar matrices.
• 6A: GEM a soustavy lineárních rovnic, část 1.
  Klíčová slova: (homogenní) soustavy lineárních rovnic, GEM, elementární řádkové úpravy, horní blokový tvar matice, Frobeniova věta o řešitelnosti soustav lineárních rovnic.
  Keywords: (homogeneous) systems of linear equations, GEM, elementary row operations, row-echelon form of a matrix, solvability theorem for systems of linear equations.
• 6B: GEM a soustavy lineárních rovnic, část 2.
  Klíčová slova: maticové rovnice, nalezení soustavy pro známou množinu řešení.
  Keywords: matrix equations, finding a system of equations for a given solution.
• 7A: Determinant, část 1.
  Klíčová slova: permutace, strunový diagram, znaménko permutace, determinant matice, geometrický význam determinantu, výpočet determinantu pomocí GEM.
  Keywords: permutation, string diagram, sign of a permutation, determinant of a matrix, geometric interpretation of a determinant, computation of a determinant using GEM.
• 7B: Determinant, část 2.
  Klíčová slova: algebraický doplněk posice v matici, Laplaceova věta o rozvoji determinantu podle sloupce (řádku), inverse matice pomocí algebraických doplňků, Cramerova věta (pravidlo).
  Keywords: cofactor of a position in a matrix, Laplace column (row) expansion of a determinant, matrix inversion using cofactors, Cramer's Theorem (Rule).
• 8A: Vlastní čísla a vlastní vektory.
  Klíčová slova: vlastní číslo (hodnota), vlastní vektor, invariantní prostor, charakteristický polynom matice.
  Keywords: eigenvalue, eigenvector, eigenspace, characteristic polynomial of a matrix.
• 8B: Diagonalisace matic.
  Klíčová slova: diagonalisace matice, kořeny polynomů, Jordanův tvar matice.
  Keywords: diagonalisation of a matrix, roots of polynomials, Jordan form of a matrix.
• 9A: Abstraktní skalární součin.
  Klíčová slova: skalární součin, norma vektoru, ortogonální vektory.
  Keywords: inner product, norm of a vector, orthogonal vectors.
• 9B: Charakterisace skalárních součinů v R^n.
  Klíčová slova: positivně definitní matice, Gramova matice (tensor skalárního součinu).
  Keywords: positive definite matrix, Gram's matrix (tensor of an inner product).
• 10A: Ortogonalisace a ortogonální projekce.
  Klíčová slova: ortogonální báze, ortonormální báze, ortogonální projekce, ortogonální rejekce, ortogonalisační proces (Gram-Schmidt).
  Keywords: orthogonal basis, orthonormal basis, orthogonal projection, orthogonal rejection, Gram-Schmidt orthogonalisation process.
• 10B: Projekce a metoda nejmenších čtverců.
  Klíčová slova: matice ortogonální projekce, metoda nejmenších čtverců.
  Keywords: matrix of orthogonal projection, least-squares method.
• 11A: Uvedení do lineárních kódů
  Klíčová slova: kódování a šifrování, lineární kód, generující a kontrolní (Hammingova) matice, kódování ISBN-10.
  Keywords: coding theory and cryptography, linear code, generator and parity check (Hamming) matrix, ISBN-10 coding.
• 11B: Ortogonalita a Hammingova vzdálenost v F^n.
  Klíčová slova: konečná tělesa, ortogonální doplněk podprostoru, Hammingova váha a vzdálenost.
  Keywords: finite fields, orthogonal complement of a subspace, Hamming weight and distance.
• 12A: Lineární kódy.
  Klíčová slova: lineární kód, kódové slovo, Hammingův (7,4)-kód, syndrom slova, detekce a oprava chyb.
  Keywords: linear code, code word, Hamming(7,4) code, syndrome of a word, error detection and correction.
• 12B: Perfektní lineární kódy.
  Klíčová slova: perfektní kód, Hammingův kód.
  Keywords: perfect code, Hamming code.

Témata jednotlivých týdnů cvičení:

Témata jednotlivých týdnů jsou dána kapitolami doporučené sbírky.

Doporučená literatura:

1. Jiří Velebil: Abstraktní a konkrétní lineární algebra. V těchto skriptech naleznete všechnu odpřednesenou látku.

Sbírky příkladů:

1. Jiří Velebil: Sbírka problémů z lineární algebry. a její errata.
2. Karel Výborný, Miloš Zahradník: Používáme lineární algebru.
3. Jiří Fiala, Luděk Kučera, Marek Krčál, Bernard Lidický, Tomáš Vyskočil: Lineární algebra I a II .
4. Przemyslaw Bogacki: Linear algebra toolkit .

Vhodné učebnice lineární algebry a další studijní texty:

1. Celá řada textů, týkajících se důkazů. Vyberte si, který text vám vyhovuje (vhodné zvláště před zkouškou). Texty nesouvisí s lineární algebrou, ale ujasní nejrůznější způsoby dokazování.
2. Dan Margalit, Joseph Rabinoff, Interactive linear algebra. Vynikající interaktivní učebnice. Pokrývá naprostou většinu odpřednesené látky. Existuje i její verse v PDF.
3. Jim Hefferon: Linear algebra . Výborná kniha se spoustou zajímavých příkladů. Pokrývá naprostou většinu odpřednesené látky.
4. Peter J. Olver, Chehrzad Shakiban: Applied Linear algebra. Výborná učebnice. Pokrývá naprostou většinu odpřednesené látky.
5. Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru . Pěkná knížka s řadou zajímavých příkladů. Pozor: obsahuje i řadu témat, která probírat nebudeme.

Vhodná videa o lineární algebře:

1. Po přihlášení do předmětu B6B01LAG na MOODLE FEL jsou dostupná videa přednášek z roku 2020.
2. Videa Matěje Dostála.
3. Essence of linear algebra je soubor krátkých videí o geometrii vektorů, lineárních kombinací, determinantu, atd.
4. Mathsters je soubor krátkých videí o množinách, matematické indukci, základních vlastnostech funkcí atd. Velmi vhodné pro osvěžení pojmů ze střední školy.

Jak se učit (nejen) lineární algebru:

Přečtěte si například stránky mathscareers nebo se podívejte, jak radí Vašim kolegům University of Cambridge.

Některé předměty FEL, ve kterých využijete znalosti lineární algebry:

1. Počítačové hry.
2. Elektromagnetické pole.
3. Pravděpodobnost, statistika a teorie informace.
4. Matematická kryptografie.
5. Výpočetní geometrie.
6. 3D počítačové vidění.
7. Analýza experimentálních dat.
8. Optimalizace.
9. Statistical machine learning.
10. A řada dalších.

Poslední změna: 3.4.2024